Anwendung der Substitutionsregel? Nullstellenbestimmung: f(x) = 2x^5 − 4x^7 + 8

Question

Für folgende Aufgabe sollen die Nullstellen berechnet werden:

f(x) = 2x⁵ − 4x⁷ + 8 

 

Kann hierbei die Funktion substituiert werden,

da im oben genannten Beispiel eine natürliche Zahl vorkommt ?!

1. Schritt der Term-Umformung wurde bereits vorgenommen bzw. übersprungen

f(x) = x⁵ − 2x⁷ + 4

f(x) = u² − u + 4

====> Anschließend die pq-Formel anwenden / Ermitteln von x₁ und x₂

Ist die Operation im Ansatz richtig und ist die Substitutionsregel 

das passende Werkzeug für ungerade Exponenten in einer f(x) Funktion ?!

 

Falls ich falsch liegen sollte, bitte mir den vollständigen Lösungsweg aufzeigen.

Answer 1

Hi,

eine Substitution anzuwenden scheint mir hier nicht (sinnvoll) möglich. Hier wäre eher ein Näherungsverfahren angebracht. Im Speziellen das Newtonverfahren:

Hier habe ich das mal erläutert -> https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren


Ich komme damit auf die einzige Nullstelle

x ≈ 1,177


Wie kommst Du überhaupt auf Deine Substitution? Wo ist der Vorfaktor 2 hin? etc etc,


Grüße

Comments

Der Vorfaktor 2 wurde für die erwähnte Term-Umformung

(siehe oben: 1. Schritt der Term-Umformung wurde bereits vorgenommen bzw. übersprungen),
wie auch der komplette Term, ganz zu Anfang dividiert.


Welche Verfahren (außer das Newtonverfahren)

lassen sich denn für f(x) Funktionen mit einem oder mehreren ungeraden Exponenten,

um Nullstellen zu berechnen am besten und am einfachsten dafür eignen ?!

Ist die Substitutionsregel, wenn Exponenten hoch2 und hoch4 vorkommen, nur sinnvoll ?!

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Ja, das dachte ich mir schon, das dürfte aber nahezu unmöglich sein den wegzubekommen :P.


Außer dem Newtonverfahren oder ein anderes Näherungsverfahren eignet sich hier nichts. Das Newtonverfahren ist dabei das häufigst in der Schule gelehrte Verfahren.


Wenn Du nur einen ungeraden Exponenten hast, ists einfach: Einfach alles ohne x auf eine Seite bringen und die entsprechende Wurzel ziehen. Sonst aber wirds schwierig.

Sinnvoll ist Substitution eigentlich nur dann, wenn man das doppelte des einen Exponenten hat. Also auch bei

g(x) = x^6-x^3+1

oder Ähnlichem wäre eine Subst. nicht fehl am Platze ;).

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Verstanden und in wie fern werden die ungeraden Exponenten
in meiner Beispielaufgabe behandelt ?!

Irgendwann muss die "Wurzel gezogen" werden, aber wann
und was muss vorher berechnet bzw. auch berücksichtigt werden ?!

Es wäre sehr hilfreich, wenn du für mich bitte die Berechnung der Aufgabe
mal durchführen könntest. :)

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Die Berechnung als solches findest Du im Link. Nur Deine Gleichung einsetzen. Ist kein Hexenwerk.

Die Wurzel muss hier gar nicht gezogen werden ;).