Eigenwerte berechnen 5x5 Matrix

Question

ihr Lieben :)

Wir sind in der Vorlesung mittlerweile bei der Bestimmung von Eigenwerten angekommen und sollen zur Übung die Eigenwerte folgender Matrix berechnen:

5	3	3	0	4
-3	-5	-2	7	1
0	0	1	0	1
0	0	1	2	-1
0	0	1	1	3

Ich habe das charakteristische Polynom 5-ten Grades gelöst und bekomme als Eigenwerte heraus: \(-4,-3,+1,+2,+4\). Das war eine ziemliche Rechnerei. Gibt es vielleicht noch andere Methoden, die Eigenwerte herauszufinden?

Danke euch vorab und viele Grüße

Patty

Comments

Tipp: Wenn A eine 2×2- Matrix und B eine 3×3-Matrix ist, dann gilt$$\det\left(\begin{array}{c|c}\begin{array}{c}\huge A\end{array}&\begin{array}{cc}*&*&*\\*&*&*\end{array}\\\hline\begin{array}{cc}0&0\\0&0\\0&0\end{array}&\begin{array}{c}\Huge B\end{array}\end{array}\right)=\det(A)\cdot\det(B).$$

Answer 1

Aloha :)

Zuerst fällt natürlich der 3x2-Block mit Nullen unten links auf. Der ist sehr wertvoll, denn dadurch kannst du die Matrix entlang der Diagonalen in 2 quadratische Block-Matrizen aufteilen:

$$M=\left(\begin{array}{c}5 & 3 & | & 3 & 0 & 4\\-3 & -5 & | & -2 & 7 & 1\\ -- & -- & -- & -- & -- & --\\0 & 0 & | & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & | & 1 & 2 & -1\\0 & 0 & | & 1 & 1 & 3\end{array}\right)$$

Immer wenn du Matrizen der Form \(\left(\begin{array}{c}A & B \\ C & D\end{array}\right)\) mit \(B=0\) oder \(C=0\) oder \(B=0\,\land\,C=0\) hast, brauchst du nur noch die Eigenwerte von \(A\) und \(D\) zu suchen. Wichtig dabei ist, dass \(A\) und \(D\) quadratische Matrizen sein müssen. Die Eigenwerte von \(A=\left(\begin{array}{c}5 & 3 \\ -3 & -5\end{array}\right)\) kannst du schnell finden. Die Summe der Eigenwerte ist gleich der Spur der Matrix und das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante der Matrix. Für die ersten beiden Eigenwerte gilt also:$$\lambda_1+\lambda_2=0\quad;\quad\lambda_1\cdot\lambda_2=-25+9=-16\quad\Rightarrow\quad\lambda_1=-4\;;\;\lambda_2=4$$Machen wir weiter mit der Matrix \(D=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right)\).

Die Spur von \(D\) ist gleich 6 und die Determinante von \(D\) ist auch gleich 6, d.h.$$\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5=6\quad\land\quad\lambda_3\cdot\lambda_4\cdot\lambda_5=6$$Immer wenn alle Zeilen einer Matrix oder alle Spalten einer Matrix dieselbe Summe haben, ist diese Summe ein Eigenwert der Matrix. Bei \(D\) haben alle Spalten die Summe \(3\), also ist der dritte Eigenwert \(\lambda_3=3\). Damit bleiben als Bedingungen für \(\lambda_4\) und \(\lambda_5\):$$\lambda_4+\lambda_5=3\quad\land\quad\lambda_4\cdot\lambda_5=2\quad\Rightarrow\quad\lambda_4=1\;;\;\lambda_5=2$$Damit haben wir alle Eigenwerte gefunden: \(-4,1,2,3,4\).

Du musst dich übrigens bei der Berechnung der Eigenwerte vertan haben. Die Spur von \(M\) ist gleich 6, die Summe deiner Eigenwerte ist aber gleich \(0\). Bei dir schein der Eigenwert \(3\) ein negatives Vorzeichen bekommen zu haben ;)

Comments

Wow!!! Danke für diese ausführliche Beschreibung. Ich muss das jetzt erst mal alles nachlesen, um es besser zu verstehen.

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Ich muss nochmal was nachfragen. Du hast geschrieben: "Wenn alle Zeilen oder alle Spalten einer Matrix dieselbe Summe haben, ist diese Summe ein Eigenwert." Wieso ist das so? Das habe ich nirgendwo gefunden. Könntest du mir das bitte noch genauer erklären.

Danke dir vorab und viele Grüße

Patty

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Aloha :)

Nehmen wir an, du hast eine Matrix, in der alle Zeilen dieselbe Summe habe, z.B. \(\left(\begin{array}{c}1 & 3 & -2\\4 & -3 & 1\\-1 & 1 & 2\end{array}\right)\). Die Summe jeder Zeile ist \(2\), also ist \(2\) ein Eigenwert der Matrix. Das siehst du sofort, wenn du die Matrix mit dem Vektor \((1,1,1)^T\) multiplizierst:$$\left(\begin{array}{c}1 & 3 & -2\\4 & -3 & 1\\-1 & 1 & 2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 \\ 2\\ 2\end{array}\right)=2\cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 1\\ 1\end{array}\right)$$Wenn die Spalten die gleiche Summe haben, gilt das genauso, weil die Determinanten von Matrix und ihrer transponierter Matrix gleich sind, sodass beide dasselbe charakteristische Polynom und damit dieselben Eigenwerte haben.

Answer 2

Manchmal kann man was sehen. Denn in der k-ten Spalte stehen ja immer

die Bilder des k-ten Basisvektors. Wenn also etwa in der 3. Spalte

0
0
4
0

..

..

steht. Dann gibt es garantiert den Eigenwert 4.