Bestimme, ob die Funktion surjektiv, injektiv oder bijektiv ist mit kurzer Begründung.

Question

Aufgabe:

Surjektiv, injektiv, bijektiv

Problem/Ansatz:

Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe… bei der ersten habe ich raus, dass die Funktion surjektiv ist. Bei der zweiten ist sie bijektiv. Danach komme ich leide nicht weiter.

Wenn mir jemand helfen kann, wäre nett.

Text erkannt:

\( \begin{aligned} f_{1}: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 1}, \quad x \mapsto x^{2}+1 \\ f_{2}: & \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \frac{x}{x-1} \\ f_{3}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto\left(x_{1}+x_{2}, x_{1}-x_{2}\right) \\ f_{4}: &\{(a, b) \mid a, b \in\{1,2,3,4\}, a<b\} \rightarrow S_{4}, \quad(a, b) \mapsto(a b) \\ \quad((a b) \text { ist die Permutation, die nur } a \text { und } b \text { vertauscht }) \\ f_{5}: S_{4} \rightarrow\{1,2,3,4,5\}, \quad \sigma \mapsto \sigma(1) \end{aligned} \)

Comments

Z.B. ist \(f_3∘f_3=2\operatorname{id}_{\mathbb R^2}\).

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Und was bedeutet das ?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Bijektive_Funktion#Eigenschaften (Vorletzter Stichpunkt)

Geht auch so:

Was heißt injektivität?

Salopp: Wenn das gleiche rauskommt, hab ich auch das gleiche reingesteckt.

Formal: Es gilt \(f(a,b)=f(c,d)\Rightarrow (a,b)=(c,d)\) für alle \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\).

\(f(a,b)=f(c,d)\) bedeutet \((a+b,a-b)=(c+d,c-d)\), was \(a+b=c+d\) und \(a-b=c-d\) bedeutet.

Das bedeutet wiederrum, wenn du die beiden Gleichungen addierst: \(a=c\) und das bedeutet letztlich \(c=d\). Also \((a,b)=(c,d)\). Das war zu zeigen.

Nun noch zur Surjektivität!

Salopp: Zeige, dass du \(f(x,y)=(x+y,x-y)=(a_1,a_2)\) für alle \(a_1,a_2\in \mathbb{R}\) "lösen" kannst.

Formaler ... Für jedes \(a=(a_1,a_2)\in \mathbb{R}^2\) existiert (mind.) ein \((x,y)\in \mathbb{R}^2\), so dass \(f(x,y)=(a_1,a_2)\). Das musst du halt in diesem Fall explizit angeben.

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\(f_5\) ist recht offensichtlich nicht injektiv. Denn \((1\, *\, *\, *)\) und \((1\, *\, *\, *)\) haben unter \(f\) immer das Bild \(1\), obwohl die Stellen, die ich mit Sternen freigelassen haben, ganz unterschiedlich sein können.

Bei \(f_4\) kann man sich mal die Surjektivität ansehen ...