zeigen, dass f( x - y ) = = f(x) - f(y) für alle x,y aus ℝ gilt

Question

Aufgabe:

Stetigkeit von Funktionen:
Problem: Wie zeige ich, dass f( x - y ) = = f(x) - f(y)  für alle x,y aus ℝ gilt?

Problem/Ansatz:

Aufgabe + Ansatz/Beweis:
Sei f: R->R eine Funktion mit der Eigenschaft f(x+y)=f(x) +f(y) für alle x,y∈ℝ.

Z.z.: Wenn f stetig in 0 ist, dann ist f stetig auf ganz ℝ.

Widerspruchsbeweis:

Annahme: f ist stetig in 0, aber unstetig auf ganz ℝ

das Gegenteil von stetig auf ganz ℝ  ist:

Es gibt eine Stelle a, an der f nicht stetig ist.

Wenn f(x+y) = f(x) + f(y) für alle x,y gilt, dann

Zu zeigen:(*)    f( x - y ) = = f(x) - f(y)  für alle x,y aus ℝ . Und f(0) = 0 .

Und wenn f stetig bei 0 ist, heißt das:

Zu jedem ε >0 gibt es ein δ mit |x-0| < δ  =>    | f(x) - f(0) | < ε
                                    also   |x| < δ  =>    | f(x)  | < ε    #

Sei nun a aus ℝ . Zeige, dass f stetig bei a ist:


Sei ε > 0 und x gemäß # so gewählt, dass | x-a| <  δ


Dann gilt nach #    | f(x-a) | <  ε

also nach *      | f(x) - f(a) | <  ε .         q.e.d.

Answer 1

Ich verstehe nicht was du machst, aber das kann an mir liegen.

Fakt ist:

Aus f(x+y)=f(x)+f(y) folgt sehr konkret

f(0+0)=f(0)+f(0), also f(0)=f(0)+f(0) und somit f(0)=0.

Aus f(x+y)=f(x)+f(y) folgt weiterhin

f(x+(-x))=f(x)+f(-x), also f(0)=f(x)+f(-x).

Weil ja f(0)=0 war, gilt also f(-x)=-f(x).

f(x-y) lässt sich als f(x+(-y)) schreiben und ist somit f(x)+f(-y)=f(x)-f(y).

Comments

vielen Dank !

Answer 2

f(x+y)=f(x) +f(y)

Dann ist

        \(f(x) = f(0+x) = f(0) + f(x)\)

also

(1)        \(f(0) = 0\).

Daraus folgt

(2)        \(\begin{aligned}f(-y) &= f(0 + (-y)) \\&= f(0) + f(-y) \\&= f(0) + (-f(y)) \\&\stackrel{\text{(1)}}{=} -f(y)\text{.}\end{aligned}\)

Somit ist

        \(\begin{aligned}f(x-y) &= f(x + (-y)) \\&= f(x) + f(-y) \\&\stackrel{\text{(2)}}{=} f(x) - f(y)\text{.}\end{aligned}\)

Comments

Vielen Dank !

Answer 3

Hallo :-)

Ich habe folgenden Ansatz:

Für alle \(x,y \in \R\) gilt zunächst $$f(x+y)=f(x)+f(y) \quad \Leftrightarrow \quad f(x)=f(x+y)-f(y).$$

Wähle für alle \(x,y\in \R\) nun neue reelle Zahlen \(a,b \in \R\) mit \(x=a-b\) und \(y=b\). Dann folgt mit der Voraussetzung $$ f(a-b)=\underbrace{f(x)=f(x+y)-f(y)}_{\text{Voraussetzung umgeformt}}=f((a-b)+b)-f(b)=f(a)-f(b). $$

Answer 4

\(f(x)=f((x-y)+y)=f(x-y)+f(y)\Rightarrow\)

\( f(x-y)=f(x)-f(y)\quad (*)\)

Die Stetigkeit von \(f\) in beliebigem \(a\) würde ich

direkt mit dem Folgenkriterium für Stetigkeit zeigen,

indem ich nutze: \(x_n\rightarrow a\) bedeutet, dass

\((a-x_n)\) eine Nullfolge ist,

also \(f(a-x_n)\rightarrow f(0)=f(0-0)=f(0)-f(0)=0\)

wegen der Stetigkeit in 0 gilt. Nun wende man \((*)\) an.