Aufgabe: Lineare Unabhängigkeit Vektoren
Problem/Ansatz: Ich verstehe nicht,warum die Vektoren f(a1) und f(a2) linear unabhängig sind, f(a3) aber nicht.
Text erkannt:
\( A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}\right) \)
bezüglich der Basis \( \left\{\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3}\right\} \) von \( \mathbb{R}^{3} \) und der Basis \( \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} \) von \( \mathbb{R}^{2} \), wobei
\( \begin{array}{l} \vec{a}_{1}=(1,1,1)^{\prime}, \quad \vec{a}_{2}=(0,1,1)^{\prime}, \quad \vec{a}_{3}=(0,0,1)^{\prime}, \\ \vec{b}_{1}=(1,1)^{\prime}, \quad \vec{b}_{2}=(0,1)^{\prime} . \end{array} \)
Bestimmen Sie Bild \( (f), \operatorname{Rang}(f), \operatorname{dim} \operatorname{Kern}(f) \) und \( \operatorname{Kern}(f) \).
Lösung:
Es ist
\( \operatorname{Bild}(f)=\operatorname{Span}\left(f\left(\vec{a}_{1}\right), f\left(\vec{a}_{2}\right), f\left(\vec{a}_{3}\right)\right) . \)
Gemäß Definition der (Matrix-)Darstellung einer linearen Abbildung bezüglich gegebener Basen gelten
\( f\left(\vec{a}_{1}\right)=\vec{b}_{1}+2 \vec{b}_{2}=(1,3), \quad f\left(\vec{a}_{2}\right)=\vec{b}_{1}+4 \vec{b}_{2}=(1,5), \quad f\left(\vec{a}_{3}\right)=1 \vec{b}_{1}+0 \vec{b}_{2}=(1,1) . \)
Die Vektoren sind \( f\left(\vec{a}_{1}\right) \) und \( f\left(\vec{a}_{2}\right) \) linear unabhängig. Somit gilt
\( \operatorname{Rang}(f)=\operatorname{dim} \operatorname{Bild}(f) \geq 2 . \)
Wegen \( \operatorname{Bild}(f) \subset \mathbb{R}^{2} \) ist
\( \operatorname{Rang}(f)=\operatorname{dim} \operatorname{Bild}(f) \leq 2 . \)
Es folgt \( \operatorname{Rang}(f)=2 \), folglich \( \operatorname{Bild}(f)=\mathbb{R}^{2} \). Ferner folgt aus der Dimensionsformel
\( \operatorname{dim} \operatorname{Kern}(f)=\operatorname{dim} U-\operatorname{Rang}(f)=3-2=1 \)
