Unterschied orthogonale Matrizen und Abbildungsmatrizen Linearer Isometrie

Question

Aufgabe:

Was genau ist der Unterschied zwischen orthogonalen/unitären Matrizen und den Abbildungsmatrizen einer Linearen Isometrie?

Für beide Abbildungen gilt, dass sie längenerhaltend und winkeltreu sind, das heißt das Skalarprodukt und die Norm sind ivariant bzgl. der Abbildung. Außerdem ist der Betrag der Determinante, sowie der Betrag der Eigenwerte 1. Die Abbildungsmatrix einer linearen Isometrie ist orthogonal/unitär, aber gibt es orthogonale Matrizen A für die die Abbildung Φ: x ↦ Ax keine lineare Isometrie ist?

Comments

oder sind lineare Isometrien Φ definiert als Abbildungen Φ: x↦ Ax bezüglich orthogonaler Abbildungsmatrizen A?

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Die Abbildungsmatrix einer linearen Isometrie

bzgl. einer Orthonormalbasis ist eine orthogonale

Matrix. Bezgl. einer beliebigen Basis muss die

darstellende Matrix nicht orthogonal sein ???