Bei welchem Preis ist die Preiselastizität gleich -2?

Question

Aufgabe:

Die inverse Nachfragefunktion lautet p(x)=21-0,5x. Bei welchem Preis ist die Preiselastizität gleich -2?

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich nicht weiter und wäre über einen Rechenweg sehr dankbar!

Answer 1

Verwende die Formel für die Punktelastizität und setze sie gleich -2.

Löse die Gleichung nach x auf.

Comments

Die Formel weiß ich danke, aber ich verstehe nicht, wie ich entsprechend einsetzen soll..

ε = XN'(p) / XN(p) · p

Ich komme auf p=47, das kann wahrscheinlich nicht sein, oder?

Bitte daher um ein kurzes Beispiel, Danke!

---

Ich war überschlagsmässig auf x = 14 gekommen, Erklärung folgt heute abend.

Damit kannst Du das gesuchte p ausrechnen.

Die N solltest Du tiefstellen, sonst Wirrwar.

---

p(x) = 21 - 1/2 x

⇔ x(p) = 42 - 2p

d/dp x(p) = - 2

E = d/dp x(p) * p / x

E = -2 * (21 - 1/2x) / x = - 2                    ausmultiplizieren

⇔ - 42/x + 1 = -2                                    + 42/x            + 2

⇔ 3 = 42/x                                              * x                  / 3

⇔ x = 42 / 3 = 14

---

Vielen Dank für die Hilfe!

x(p) ist die wiederum die inverse von p(x), oder?

Dafür muss man nach nach x auflösen und dann die Variablen vertauschen, richtig?

Ich bin mir nicht sicher wie man dabei auf -2p kommt, die 42 sind klar.

---

x(p) ist die wiederum die inverse von p(x), oder?

Ja.

und dann die Variablen vertauschen

Da sehe ich keine Notwendigkeit dazu. p ist p und x ist x.

bin mir nicht sicher wie man dabei auf -2p kommt,

p(x) = 21 - 1/2 x                + 1/2 x

p + 1/2 x = 21                   - p

1/2 x = 21 - p                    * 2

x = 42 - 2p

---

Super, danke! Jetzt hab ich es verstanden.

Wofür braucht man aber hier die inverse also die 42-2p?

Wenn man in die Preiselastizitätsformel einsetzt:

E = d/dp x(p) * p / x

E = -2*(21-0,5x)*21/x oder nicht?

---

Wofür braucht man aber hier die inverse also die 42-2p?

Damit man deren Ableitung, nämlich x'(p) = -2, in die Formel einsetzen kann.

Answer 2

p = 21 - 0.5·x --> x = 42 - 2·p

Die Preiselastizität ist definiert

ε = x'(p) / x(p) · p

ε = - 2 / (42 - 2·p) · p = p/(p - 21) = -2 --> p = 14

Bei einem Preis von 14 GE/ME liegt die Preiselastizität bei -2.

Comments

Danke für die Hilfe.

ε = - 2 / (42 - 2·p) · p habe ich nun verstanden.

Wie ich aber auf p/(p - 21) = -2 komme ist mir leider noch unklar?

---

Vielleicht ist das so etwas klarer?

- 2 / (42 - 2·p) · p = -2
- 2·p / (42 - 2·p) = -2
2·p / (2·p - 42) = -2
p / (p - 21) = -2

Diese Umformung muss man aber nicht machen. Du kannst ja gleich die erste Gleichung nach p auflösen, ohne weiter zu vereinfachen.