Potenzielles Wachstum Formeln

Question

Aufgabe:

Ein Wachstumsprozess, der durch eine Potenzfunktion \( \mathrm{f} \) mit \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a} \cdot \mathrm{x}^{\mathrm{n}}, \mathrm{n} \in \mathbb{N} \), beschrieben werden kann, bezeichnet man als potenzielles Wachstum. Gelegentlich wird der Begriff des potenziellen Wachstums auch allgemeiner für rationale Exponenten verwendet.

Zeigen Sie, dass man folgende Wachstumsvorgänge als potenzielles Wachstum bezeichnen kann:

1 Der Flächeninhalt A eines Kreises wächst quadratisch mit dem Kreisdurchmesser \( \mathrm{d} \).

\( \begin{array}{l} A=\pi \cdot r^{2} \\ d=2 \cdot r \end{array} \quad r=\frac{1}{2} \cdot d, A=\pi \cdot\left(\frac{1}{2} \cdot d\right)^{2}, A(d)=\frac{\pi}{4} \cdot d^{2} \)

2 Der Flächeninhalt \( \mathbf{A} \) eines Quadrats wächst quadratisch mit dem Umfang \( u \).

3 Der Flächeninhalt A eines gleichseitigen Dreiecks wächst quadratisch mit der Dreieckshöhe \( \mathrm{h} \).

\( \begin{array}{l} A=\frac{1}{4} \cdot a^{2} \cdot \sqrt{3} \\ \Delta=\frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{3} \end{array} \)

4 Das Volumen \( \mathrm{V} \) einer Kugel wächst kubisch mit dem Durchmesser \( \mathrm{d} \).

\( \begin{array}{l} V=\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^{3} \\ d=2 \cdot r \end{array} \)

5 Das Volumen \( \mathrm{V} \) eines Würfels wächst kubisch mit der Länge der Raumdiagonale d.

\( \begin{array}{l} v=a \cdot a \cdot a \\ d_{R}=s \cdot \sqrt{3} \end{array} \)

6 Das Volumen V eines regulären Oktaeders wächst kubisch mit der Kantenlänge a.

\( \begin{array}{l} V=2 P r \\ P y=\frac{1}{3} A g \cdot h \end{array} \)
kubisch in der ditten feten vorliegend, würterformig Zusatzaufgabe

a) Wie wächst das Volumen V eines Würfels mit seiner Oberfläche O?

b) Wie wächst das Volumen V einer Kugel mit seiner Oberfläche O?

c) Wie wächst das Volumen V eines regulären Oktaeders mit seiner Oberfläche O?

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich komme bei diesem Arbeitsblatt nicht weiter. ich habe schon alle allgemeinen Formen für die jeweiligen Teilaufgaben hingeschrieben aber ich weiß nicht wie man das am besten umstellt. Könnte mir jemand bitte helfen?

Answer 1

Hallo,

ich versuche mich mal an Aufgabe 1.

Flächeninhalt Kreis:

\(A=\pi\cdot \bigg(\frac{1}{2}d\bigg)^2=\pi\cdot \frac{1}{4}d^2\\\)

Flächeninhalt Kreis mit doppeltem Durchmesser:

\(A_2=\pi\cdot \bigg(2\cdot \frac{1}{2}d\bigg )^2=\pi\cdot d^2\\\)

Also \(A\cdot 4=A\cdot 2^2=A_2\\\)

Flächeninhalt Kreis mit dreifachem Durchmesser:

\(A_3=\pi\cdot \bigg(3\cdot \frac{1}{2}d\bigg)^2=\pi\cdot \frac{9}{4}d^2\\\)

Also \(A\cdot 9=A\cdot 3^2=A_3\)

Wird also d mit einem Faktor a multipliziert, dann wächst der Flächeninhalt um \(a^2\).

Ich weiß allerdings nicht, ob hiermit "potentielles Wachstum" gezeigt wird.

Gruß, Silvia

Answer 2

Hallo

das Umstellen ist nicht so schwer, Quadrat A=a^2 , U=4a also a=U/4 damit  A=1/16*U^2

gs Dreieck    A=s*h/2  , h=s/2*√3 , s=2h/√3, A=2h/√3*h=2/√3*h^2

so formst du jeweils um ,

du musst also immer in der Formel, die du kennst nach dem umstellen was gefragt ist

mal eins der Schwierigeren

Wie wächst das Volumen V einer Kugel mit seiner Oberfläche O?

V=a^3  , O=6a^2  daraus a=(√O/√6)  V=(√O/√6)^3= 1/6^3/2 O^3/2

entsprechend schaffst du den Rest sicher alleine sonst Fra noch mal nach.

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort. Aber ich habe das gerade noch mal versucht aber ich kriege es einfach nicht nhin

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Was genau kriegst du nicht hin?

4. V= 4/3π⋅r ^3 , d=2r daraus r=? ? in V einsetzen

Fehlt noch der Oktaeder, welche Formeln kennst du dazu?  V=2*1/2s^2*h und kennst du h=1/√2 *s

dieses h einsetzen und d hast nur noch V=? s^3

was ist daran so schrecklich?

lul

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Wie wächst das Volumen V einer Kugel mit seiner Oberfläche O?

V=a3  , O=6a2  daraus a=(√O/√6)  V=(√O/√6)3= 1/63/2 O3/2

Da hat die Kugel aber etliche Ecken.