Zeigen Sie, dass die Verknüpfung assoziativ ist und bestimmen sie das inverse Element.

Question

Aufgabe:

Auf der Menge Q2 wird eine Verknüpfung ∗ : Q2 × Q2 → Q2 durch (a1, b1) ∗ (a2, b2) := (a1a2 − b1b2, a1b2 + b1a2) definiert. Offensichtlich ist sie kom- mutativ (d.h. (a1, b1) ∗ (a2, b2) = (a2, b2) ∗ (a1, b1)). Zeigen Sie, dass die Verknüpfung assoziativ ist und finden Sie für jedes (a,b) ≠ (0,0) (bezüglich (1,0)) inverses Element.

Problem/Ansatz:

Ich stehe hier aufm schlauch. Wie soll ich das lösen?

Answer 1

Du musst zeigen:

Für alle (a1, b1) , (a2, b2), (c1, c2) gilt

( (a1, b1) ,*(a2, b2) ) *  (c1, c2) = (a1, b1) *(  (a2, b2)* (c1, c2) )

Verwende auf beiden Seiten der Gleichung die Def. von * und zeige,

dass die Ergebnisse übereinstimmen. Könnte so beginnen

( (a1, b1) ,*(a2, b2) ) *  (c1, c2)

= (a1a2 − b1b2, a1b2 + b1a2) *  (c1, c2)

und jetzt die Def. anwenden mit a1a2 − b1b2 für a1

und a1b2 + b1a2 für a2 und c1 für b1 und c2 für b2 gibt

=( (a1a2 − b1b2)(a1b2 + b1a2)-c1c2  ,   (a1a2 − b1b2)c2 +c1( a1b2 + b1a2) )

Klammern auflösen und mit dem Ergebnis der rechten Seite vergleichen.