Dimensionsformel benutzen um Ker(T)) zu folgern

Question

Aufgabe: Sei T : R³ -> R₁ [x] , (a,b,c) -> (a-c)x + b + c

Benutzen Sie die Dimensionsformeln, um dim(Ker(T)) = 1 zu folgern.

Problem/Ansatz: Die Dimensionsformel ist mir bekannt, nach Umstellung komme ich auf

dim(Ker(T)) = dim (V) - dim(Im(T))

Da wir hier ein R³  haben muss ja dim(V)= 3 sein. Somit weiß ich dank der Aufgabe, dass dim(Im(T)) = 2 sein muss. Kann mir jemand trotzdem erklären wie ich auf dim(Im(T)) komme? Wenn dim(Ker(T)) = 1 nicht bekannt wäre, hätte ich die Aufgabe nicht lösen können.

Answer 1

Wir finden:

$$T(1,0,0)=x\quad\land\quad T(0,1,0)=1$$

Diese beiden Ergebnisse sind linear unabhängig. Also ist die Dimension des Bildes mindestens 2.

Außerdem kann man mit diesen beiden Elementen den ganzen Zielbereich erzeugen, weil sich alle Polynome mit Grad kleiner gleich 1 aus x und 1 erzeugen lassen. Also sind die Elemente gleichzeitig ein Erzeugendensystem des Bildes. Also ist der Grad des Bildes auch höchstens 2.

Aus diesen beiden Folgerungen folgt dim(im(T))=2.

LG