Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = (e^(2x)-e^(x+1)) / (2- √(x+3))

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion f(x) =              (e^(2x)-e^(x+1))

                                                                                       --------------------

                                                                                       (2- √(x+3))

Problem/Ansatz:

Hi, ich brauche Hilfe, um die Nullstellen zu berechnen. Ich weiß, dass die Antwort 1 ist, aber ich weiß nicht, wie ich das darstellen soll. Vielen Dank!

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Ich weiß, dass die Antwort 1 ist

Die Funktion ist an der Stelle x₀ = 1 nicht definiert.

Answer 1

Es geht ja nur um den Zähler:

(e^(2x)-e^(x+1)) = 0 

e^x ausklammern

<=>   e^x ( e^x - e ) = 0

<=>     e^x - e = 0

<=>    e^x = e = e^1 

<=>   x=1

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Es geht ja nur um den Zähler

Sicher?

Answer 2

Ich hoffe, dass mit darstellen eh ausrechnen gemeint ist. Andernfalls müsstest du noch einmal verdeutlichen, was genau du darstellen sollst.

Zuerst erkennen wir, dass x ungleich 1 sein muss. Wäre x nämlich 1, stünde im Nenner 2-sqrt(3+1)=2-2=0 und durch 0 darf bekanntlich nicht dividiert werden. Also ist die Funktion hier nicht definiert.

Nun setzen wir die Funktion gleich 0.

$$\begin{aligned}f(x)=\dfrac{e^{2x}-e^{x+1}}{2-\sqrt{x+3}}&=0\quad&&|\cdot2-\sqrt{x+3}\\ e^{2x}-e^{x+1}&=0\quad&&|+e^{x+1}\\e^{2x}&=e^{x+1}&&|\ln()\\2x&=x+1&&|-x\\x&=1\end{aligned}$$

Das widerspricht aber unserer Annahme, dass x ungleich 1 ist. Somit hat die Funktion keine Nullstelle.

Falls du mit der Regel von L'Hospital vertraut bist, können wir den Grenzwert der Funktion bei x=1 berechnen:

$$\begin{aligned}\lim_{x\to1}\dfrac{e^{2x}-e^{x+1}}{2-\sqrt{x+3}}=\lim_{x\to1}\dfrac{2e^{2x}-e^{x+1}}{-\frac{1}{2\sqrt{x+3}}}=\lim_{x\to1}e^{2x}\cdot(-2\sqrt{x+3})=-4e^2\approx -29.56\neq0\end{aligned}$$

Also konvergiert die Funktion nicht einmal gegen 0.

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Zuerst erkennen wir, dass x ungleich -3 sein muss

Warum das denn?

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Nevermind ich hab Scheiße zusammengerechnet

Ich korrigiere meine Antwort gleich. Danke fürs aufmerksam machen.

Answer 3

Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion \( f(x)= \frac{e^{2x}-e^{x+1}}{2-\sqrt{x+3}}         \)

\(  \frac{e^{2x}-e^{x+1}}{2-\sqrt{x+3}}  =0     \)

 \(  {e^{2x}-e^{x+1}}  =0    \)

\(  {e^{2x}-e*e^{x}}  =0    \)

\(  e^{x}*(e^{x}-e)  =0    \)

1.) \(  e^{x}   \) kann nicht 0 werden

2.)\( e^{x}-e =0    \)

\( e^{x}  =e^{1}   \)

\(x=1\)

                                                                                    

                                                                        

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Man beachte auch die Definitionsmenge.

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Ich habe daraus gelernt, eine offensichtlich richtige Lösung auf Plausibilität zu überprüfen:

\(\frac{e^{2x}-e^{x+1}}{2-\sqrt{x+3}}  =0  \)

\(x=1\)

\(\frac{e^{2}-e^{1+1}}{2-\sqrt{1+3}}  =0  \)

\(\frac{e^{2}-e^{1+1}}{2-\sqrt{1+3}}   \) ergibt  \( \frac{0}{0} \)   mit l´Hospital:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{e^{2 x}-e^{x+1}}{2-\sqrt{x+3}}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2 \cdot e^{2 x}-e^{x+1}}{\frac{1}{-2 \cdot \sqrt{x+3}}} \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow 1}\left(2 \cdot e^{2 x}-e^{x+1}\right) \cdot(-2 \cdot \sqrt{x+3}) \)
\( \left(2 \cdot e^{2}-e^{1+1}\right) \cdot(-2 \cdot \sqrt{1+3})=e^{2} \cdot(-2 \cdot \sqrt{4})=-4 \cdot e^{2}\)