Ich weiß, dass man Mittelwertsatz benutzen soll, aber wie?

Question

Aufgabe:

Für eine 2 mal differenzierbare Funktion soll gezeigt werden das wenn die zweite Ableitung ungleich 0 ist dann besitzt die Funktion höchstens zwei Nullstellen

Problem/Ansatz:

Ich weiß das man Mittelwertsatz benutzen soll, aber wie ?

Answer 1

Hätte \(f\) mindestens drei verschiedene Nullstellen

\(x_1<x_2<x_3\), dann gäbe es nach dem Satz von Rolle

(einem Spezialfall des Mittelwertsatzes) zwei Nullstellen

\(x_4, x_5\) von \(f'\) mit

\(x_1<x_4<x_2<x_5<x_3\).

Nach dem Satz von Rolle gäbe es dann

eine Nullstelle \(x_6\) von \((f')'=f''\) mit \(x_4< x_6< x_5\).

Es wäre also \(f''(x_6)=0\) im Widerspruch zur Voraussetzung.

Answer 2

Auf ganz ℝ definierte Funktion ?

f ' ' (x) ≠ 0 für alle x∈ℝ

==>   f ' ( x ) streng monoton steigend oder streng monoton fallend.

Nehmen wir das mal erste.

==>   f '  besitzt höchstens eine Nullstelle.

Besitzt f ' keine , dann ist auch f streng monoton,

besitzt also höchstens eine.

Besitzt f ' eine Nullstelle, dann besitzt f höchstens ein

lokales Extremum, sagen wir mal bei a.  Entweder ist f im

Bereich x<a streng monoton steigend und für x>a fallend

oder umgekehrt.

In beiden Fällen kann es in jedem dieser Bereiche

höchstens eine Nullstelle besitzen, also zusammen 2.

Den Zusammengang zwischen Vorzeichen der

Ableitung und Monotonie der Funktion

kann man mit dem MWS beweisen.