Kann man den Mittelwertsatz auf eine (ausser im Nullpunkt) stetige Funktion anwenden?

Question

Aufgabe:

sei f: R->R ist eine auf R\{0} stetige Funktion  für den linksseitigen Grenzwert bei 0 gilt lim(x->-0) f(x)= 0 =f(0)

Frage: für jede abgeschlossene Menge A  aus dem Intervall(-inf., 0] ist das Urbild f^(-1) (A) Abgeschlossen

ja oder nein

Problem/Ansatz:

Da der linksseitige  Grenzwert existiert ist die Funktion auf dem angegebenen Intervall stetig und damit ist auch f^(-1) stieg und der Mittelwert Satz beweist das auf jedem abgeschlossenen Intervall einer stetigen Funktion das Bild wieder in einem abgeschlossenen Intervall ist und umgegekehrt.

also wäre meine Antwort ja

versteh ich etwas falsch oder stimmt meine Argumentation?

Answer 1

damit ist auch f^(-1)

Nein. Eventuell existiert \(f^{-1}\) nicht, zum Beispiel bei

        \(f:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x^2\).

Sei \(A\subseteq (-\infty, 0]\) abgeschlossen.

Dann sind

        \(X_- \coloneqq \{x\in (-\infty, 0] |\ f(x) \in A\}\)

und

        \(X_+ \coloneqq \{x\in (0,\infty) |\ f(x) \in A\}\)

abgeschlossen und es ist

        \(f^{-1}(A) = X_-\cup X_+\).

Comments

DANKE!! Ich habs endlich verstanden.