Seien \( a<b \) und \( x_{0} \in(a, b) \). Weiter sei \( f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} \) stetig in \( [a, b] \) sowie differenzierbar in allen \( x \in(a, b) \backslash\left\{x_{0}\right\} \). Die Ableitung \( f^{\prime}:(a, b) \backslash\left\{x_{0}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \) erfülle
\( \lim \limits_{x \bigwedge_{0}} f^{\prime}(x)=\lim \limits_{x \nearrow x_{0}} f^{\prime}(x)=: z_{0} . \)
Zeigen Sie, dass \( f \) dann in \( x_{0} \) differenzierbar ist mit
\( f^{\prime}\left(x_{0}\right)=z_{0} . \)
Hinweis: Betrachten Sie
\( \lim \limits_{x \bigwedge_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \text { und } \lim \limits_{x \nearrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \text {, } \)
indem Sie den Mittelwertsatz auf \( \left[x_{0}, x\right] \) bzw. \( \left[x, x_{0}\right] \) anwenden.
Kann mir das jemand erklären? Ich verstehe nicht genau wie ich den Mittelwertsatz verwende.
