Mittelwertsatz anwenden auf [x0, x] bzw. [x, x0]

Question

Seien $a<b$ und $x_{0} \in(a, b)$. Weiter sei $f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ stetig in $[a, b]$ sowie differenzierbar in allen $x \in(a, b) \backslash\left\{x_{0}\right\}$. Die Ableitung $f^{\prime}:(a, b) \backslash\left\{x_{0}\right\} \rightarrow \mathbb{R}$ erfülle

$\lim \limits_{x \bigwedge_{0}} f^{\prime}(x)=\lim \limits_{x \nearrow x_{0}} f^{\prime}(x)=: z_{0} .$
Zeigen Sie, dass $f$ dann in $x_{0}$ differenzierbar ist mit
$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=z_{0} .$
Hinweis: Betrachten Sie
$\lim \limits_{x \bigwedge_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \text { und } \lim \limits_{x \nearrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \text {, }$
indem Sie den Mittelwertsatz auf $\left[x_{0}, x\right]$ bzw. $\left[x, x_{0}\right]$ anwenden.

Kann mir das jemand erklären? Ich verstehe nicht genau wie ich den Mittelwertsatz verwende.