Darstellung von Primzahlen aus kleineren Primzahlen

Question

Beim Versuch einer Lösung eines mathematischen Problems konnte ich die Sache soweit reduzieren, dass ich jetzt nur noch beweisen müsste, dass sich jede Primzahl q ≥ 7 mit 3 kleineren, verschiedenen Primzahlen p₁,p₂,p₃ darstellen lässt als q = p₁ * p₂ - p₃.

Also z.B.

7 = 2 * 5 - 3

11 = 2 * 7 -3

13 = 3 * 5 - 2

17 = 2 * 11 - 5

19 = 3 * 7 - 2 = 2 * 11 - 3 = 2 * 13 - 7

31 = 3 * 11 - 2 = 2 * 17 - 3 = 2 * 19 - 7

37 = 3 * 13 - 2

Eine der Primzahlen p_i muss 2 sein, da sonst p₁ * p₂ - p₃ gerade wäre. Es gibt zu jeder Primzahl q ≥ 7 also zwei verschiedene Primzahlen p₁ und p₂ mit p₁, p₂ < q, so dass gilt

     q = 2 * p₁ - p₂        oder       q = p₁ * p₂ - 2

Für die Form q = 2 * p₁ - p₂ kann es sogar mehrere Darstellungen geben wie oben für q = 19 und q = 31 oder sogar

    83 = 2 * 43 - 3 = 2 * 47 - 11 = 2 * 53 - 23 = 2 * 71 - 59

Lässt sich das allgemein beweisen?

Comments

Hast du das denn schon mit einem geeigneten
Computerprogramm angetestet?

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Ja, für alle Primzahlen q < 16 * 10⁶ gilt die Behauptung. Wenn es eine Darstellung q = p₁ * p₂ - 2 gibt, ist sie (mit p₁ < p₂) natürlich eindeutig. Bei q = 2 * p₂ - p₁ muss auch p₁ < p₂ gelten, da ja sonst 2 * p₂ - p₁ < p₂ < q. Außer für

    13 = 3 * 5 - 2      und      37 = 3 * 13 - 2

gibt es offenbar für alle q ≥ 7 eine Darstellung q = 2 * p₂ - p₁ aber nicht immer die eindeutige Darstellung q = p₁ * p₂ - 2. Die Anzahl der Darstellungen q = 2 * p2 - p1 wächst anscheinend mit größer werdendem q.