Wie stellt man aus Nullstellen einer ganzrationalen Funktion Linearfaktoren auf?

Question

Kann mir jemand die folgende Mathe-Aufgabe erklären?

Gegeben ist folgende Funktion:
f(x)=(-1/3)*x^4 + 6*x^2 -27
Die Aufgabe lautet: Berechne die Nullstellen und schreibe f mit Linearfaktoren auf.
Auf die Nullstellen bin ich ganz einfach mit der Substitution gekommen, diese lauten +3 und -3.
Allerdings weiß ich nicht, wie ich daraus nun Linearfaktoren aufstellen kann. Ich weiß ja gar nicht, was das für Nullstellen sind, vielleicht sind ja beide doppelt oder eine einfach und die andere dreifach.
Wie geht man da vor? Danke im Voraus.

Answer 1

f(x) = - 1/3·x^4 + 6·x^2 - 27

Klammer - 1/3 aus

f(x) = - 1/3·(x^4 - 18·x^2 + 81)

Das sieht aus wie binomische Formel

f(x) = - 1/3·((x^2)^2 - 2·9·x^2 + 9^2)

f(x) = - 1/3·(x^2 - 9)^2

f(x) = - 1/3·(x^2 - 9)^2

Nochmal binomische Formel

f(x) = - 1/3·(x^2 - 3^2)^2

f(x) = - 1/3·((x + 3)·(x - 3))^2

f(x) = - 1/3·(x + 3)^2·(x - 3)^2

Answer 2

Auf die Nullstellen bin ich ganz einfach mit der Substitution gekommen, diese lauten +3 und -3.

Damit hast du die Linearfaktoren \(x - 3\) bzw. \(x + 3\). Miteinander multipliziert ergibt das \(x^2 - 9\).

Polynomdivision \(\left(-\frac{1}{3}x^4 +6x^2 - 27\right):(x^2-9)\) ergibt \(-\frac{1}{3}x^2 + 3\).

Die Nullstellen von \(-\frac{1}{3}x^2 + 3\) liefern dir weitere Linearfaktoren.

vielleicht sind ja beide doppelt

Ja.

oder eine einfach und die andere dreifach.

Das kann nicht sein, weil \(f\) eine gerade Funktion ist.

Comments

Die Polynomdivision haben wir noch nie behandelt, gibt es da denn keinen anderen Weg?

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Eine \(n\)-fache Nullstelle von \(f\) ist auch Nullstelle der ersten \(n-1\) Ableitungen von \(f\).

Das heißt zum Beispiel eine vierfache Nullstelle von \(f\) ist auch eine Nullstelle von \(f'\), \(f''\) und \(f'''\).

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Das kann nicht sein, weil \(f\) eine gerade Funktion ist.

Gibt es dafür denn allgemeine Regeln?

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Ist \(f\) gerade und \(x_0\) eine Nullstelle von \(f\) und \(f'\), dann ist

        \(f'(-x_0) = -f'(x_0)\)

wegen Kettenregel, also ist \(-x_0\) auch Nullstelle von \(f\) und \(f'\).