1)
Umformen in die Scheitelpunktform:
$$y=\left( { a }^{ 2 }-1 \right) { x }^{ 2 }+\left( 2-{ 2a }^{ 2 } \right) x+2a$$Im zweiten Summanden - 2 ausklammern:$$=\left( { a }^{ 2 }-1 \right) { x }^{ 2 }-2\left( { a }^{ 2 }-1 \right) x+2a$$Aus den ersten beiden Summanden (a2-1) ausklammern:$$=\left( { a }^{ 2 }-1 \right) \left( { x }^{ 2 }-2x \right) +2a$$In der zweiten Klammer die quadratische Ergänzung addieren und wieder subtrahieren:$$=\left( { a }^{ 2 }-1 \right) \left( { x }^{ 2 }-2x+1-1 \right) +2a$$Die ersten drei Summanden der zweiten Klammer als Quadrat schreiben:$$=\left( { a }^{ 2 }-1 \right) \left( { \left( x-1 \right) }^{ 2 }-1 \right) +2a$$Den Faktor (a2-1) wieder in die zweite Klammer hineinmultiplizieren:$$=\left( { a }^{ 2 }-1 \right) \left( x-1 \right) ^{ 2 }-\left( { a }^{ 2 }-1 \right) +2a$$Die Summanden hinter dem Quadrat in die der Scheitelpunktform entsprechende Form bringen:$$=\left( { a }^{ 2 }-1 \right) \left( x-1 \right) ^{ 2 }+\left( -{ a }^{ 2 }+2a+1 \right)$$Scheitelpunkt ablesen:$$\Rightarrow S\left( { 1 }|{ -{ a }^{ 2 }+2a+1 } \right)$$
2)
Eine Gerade g ( x ) ist genau dann Tangente an den Graphen von f ( x ), wenn es eine Stelle x0 gibt, an der sowohl die Funktionswerte von f und g als auch deren Steigungen jeweils gleich sind, wenn also gilt:
f ( x0 ) = g ( x0 ) und f ' ( x0 ) = g ' ( x0 )
also :
a)
f ( x ) = 0,5 x 2 + x - 0,5,
g ( x ) = 2 x + a
dann:
f ' ( x0 ) = g ' ( x0 )
<=> x0+ 1 = 2
<=> x0 = 1
f ( 1 ) = g ( 1 )
<=> 0,5 + 1 - 0,5 = 2 + a
<=> 1 = 2 + a
<=> a = -1
Also:
g ( x ) = 2 x - 1 ist Tangente an f ( x ) = 0,5 x 2 + x - 0,5 und zwar im Punkt ( 1 | 1 ).
https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5x%C2%B2%2Bx-0.5%2C2x-1from0to2
b)
f ( x ) = 0,5 x 2 + x - 0,5,
g ( x ) = b
dann:
f ' ( x0 ) = g ' ( x0 )
<=> x0+ 1 = 0
<=> x0 = - 1
f ( - 1 ) = g ( -1 )
<=> 0,5 - 1 - 0,5 = b
<=> b = - 1
Also:
g ( x ) = - 1 ist Tangente an f ( x ) = 0,5 x 2 + x - 0,5 und zwar im Punkt ( -1 | -1 ).
https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5x%C2%B2%2Bx-0.5%2Cy%3D-1from-3to1
c)
f ( x ) = 0,5 x 2 + x - 0,5,
g ( x ) = m x -5
dann:
f ' ( x0 ) = g ' ( x0 )
<=> x0+ 1 = m
<=> x0 = m - 1
f ( m - 1 ) = g ( m - 1 )
<=> 0,5 ( m - 1 ) 2 + m - 1 - 0,5 = m ( m - 1 ) - 5
<=> 0,5 ( m 2 - 2 m + 1 ) + m - 1 - 0,5 = m 2 - m - 5
<=> 0,5 m 2 - m + 0,5 + m - 1 - 0,5 = m 2 - m - 5
<=> 0,5 m 2 - 1 = m 2 - m - 5
<=> 0,5 m 2 - m - 4 = 0
<=> m 2 - 2 m - 8 = 0
<=> m 2 - 2 m = 8
<=> m 2 - 2 m + 1 = 9
<=> ( m - 1 ) 2 = 9
<=> m - 1 = ± 3
<=> m = - 3 + 1 oder m = 3 + 1
<=> m = - 2 oder m = 4
Also:
Sowohl
g1 ( x ) = - 2 x - 5 im Punkt ( - 3 | 1 ) als auch
g 2 ( x ) = 4 x - 5 im Punkt ( 3 | 7 )
sind Tangenten an f ( x ) = 0,5 x 2 + x - 0,5
https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5x%C2%B2%2Bx-0.5%2C-2x-5%2C4x-5from-3.5to3.5
3)
Hier sehe ich keine Aufgabe sondern lediglich eine Gleichung sowie das Wort "Substitution".
Außerdem scheint in dem Term ein x zu fehlen, es soll vermutlich heißen:
y=x²*²-(a+4)x²+4a²
Bitte prüfe das und formuliere noch die eigentliche Aufgabe.
