Satz von Rouché zur Bestimmung der Anzahl der Nullstellen unter Berücksichtigung der Vielfachheiten

Question

Könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen? Danke!

Es sei \( g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) gegeben durch

\( f(z)=\left(z^{2}-3 z\right)^{4}+2^{z-1} \)

Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von \( g \) in \( B_{1}(3) \) unter Berücksichtigung der Vielfachheiten.
Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Rouché.

Answer 1

Hallo,

beide Funktionen \(z\mapsto (z^2-3z)^4\) und \(z\mapsto 2^{z-1}\) sind holomorph auf \(\mathbb{C}\).

Gilt für \(z\in \partial B_1(3)\), sprich für \(|z-1|=3\) dass \(|(z^2-3z)^4|>|2^{z-1}|\,\, (*) \), so haben nach dem Satz von Rouché \((z^2-3z)^4\) und \((z^2-3z)^4+2^{z-1}\) gleich viele (entsprechend der Vielfachheiten gezählt) Nullstellen in \(B_1(3)\), sprich in \(|z-1|<3\).

Wo ist überall \(z-1\) in den Termen und wie kann man \(|z-1|=3\) nutzen, um die Ungleichung \((*)\) auf dem Rand zu zeigen?