lim n->inf \sqrt[n]{x} = 1 für alle R >0

Question

Aufgabe: lim n->inf \( \sqrt[n]{x} \) = 1 für alle R >0

Problem/Ansatz: Hi, Ich habe irgendwie keinen richtigen Ansatz für die Aufgabe. Ich kenne den Beweis für \( \sqrt[n]{n} \), dort wurde es über das sandwich-Theorem gelöst, jedoch kann Ich dieses nicht hier anwenden oder?

Hoffe Ihr habt Tipps für mich.^^

Comments

Vielleicht doch. Falls \(x>1\) ist, gilt \(1<\sqrt[n]x<\sqrt[n]n\) für alle \(n>x\), sonst betrachte \(\frac1x\).

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(x^{\frac1n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{\frac1n\ln(x)}\right)=e^{\lim\limits_{n\to\infty}\left({\frac1n\ln(x)}\right)}=e^0=1$$

Answer 2

\( \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x} \)

\( \sqrt[2]{9}=3 \)

\( \sqrt[10]{9}≈1,245 \)

\( \sqrt[100]{9}≈1,0222 \)

\( \sqrt[1000]{9}≈1,0021 \)

..................

\( \sqrt[∞]{9}=1 \)

Der Wert kann nicht kleiner als 1 werden, da z.B. \(0,9^{1000}≈0,35\)

Je größer der Exponent, umso kleiner wird die Zahl.  Im Grenzfall   wird 0 erreicht.

Comments

Der Wert kann nicht kleiner als 1 werden

Das heißt noch lange nicht, dass der Grenzwert existiert und gleich 1 sein muss.