Abelsches Konvergenzkriterium beweisen mit Hilfe partieller Summation

Question

Aufgabe:

$$\text{Gegeben sind zwei Folgen} \ (a_n) \text{und}  \ (b_n) \text{aus} \mathbb{C} \\\text{a) Zeigen Sie: Für alle}  n \in \mathbb{N} \text{gilt:} \\ \sum_{j=1}^na_jb_j= b_{n+1}\sum_{j=1}^n a_j+\sum_{k=1}^n(b_k-b_{k+1})\sum_{j=1}^ka_j \\ \text{b) Beweisem Sie das Abel'sche Konvergenzkriterium: Konvergiert} \bigg( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \bigg) \\ \text{ und ist} (b_n) \text{monoton und beschränkt}  \text{(insbesondere also reell), so konvergiert auch} \bigg(\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n\bigg)$$

Problem/Ansatz:

a) habe ich bereits per Induktion gelöst, aber bei b) komme ich nicht weiter. Ich habe die oben beschriebene Gleichung benutzt, um b) zu beweisen. Dass $$ b_{n+1}\sum_{j=1}^n a_j$$ konvergiert habe ich bereits herausgefunden , jedoch verstehe ich nicht wie ich den letzten Term $$\sum_{k=1}^n(b_k-b_{k+1})\sum_{j=1}^ka_j$$ auf Konvergenz überprüfen kann.

Comments

Hallo,

du kannst \(\sum \limits_{k=1}^{n}a_nb_n\) ja mit deiner beweisenen Formel (Abelsche partielle Summation) umschreiben. Du weißt, dass die eine Reihe konvergiert und kennst vermutlich das Monotoniekriterium. Schreibs um, wende die Dreiecksungleichung an.

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Die Dreiecksungleichung gilt aber doch nur für absolute konvergente Reihen. $$\text{Aber weder} \sum \limits_{k=1}^{n}(b_k-b_{k+1}) \text{ noch} \sum \limits_{k=1}^{n}a_j \text{bzw} A_k$$ konvergieren absolut, oder liege ich da falsch?

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Schau mal hier. Dort heißt es zwar, dass \(b_n\) monoton und konvergent ist, die Konvergenz rührt aber bei dir von der Beschränktheit und Monotonie von \(b_n\) und dem Monotoniekriterium her, so dass du nur das notieren musst und so auch diesen Beweis nachvollziehen kannst.