Aloha :)
Du musst hier die folgende Gleichung nach \(t\) auflösen:$$–0,001\cdot t^4 + 0,078 \cdot t^3 – 2,23 \cdot t^2 + 32 \cdot t\stackrel!=130$$Das ist gleichbedeutend mit dem Finden der Nullstellen der Funktion:$$f(t)\coloneqq–0,001t^4 + 0,078t^3 – 2,23t^2 + 32t-130$$
Da wir es hier nicht mit einer quadratischen oder kubischen Gleichung zu tun haben, würde ich auf ein numerisches Verfahren zurückgreifen. Sehr effizient ist das Newton-Verfahren.
Beim Newton-Verfahren startet man mit einer Schätzung \(t_0\) für die Nullstelle. Für diesen Punkt \(t_0\) berechnet man die Tangente an die Funktion \(f(t)\) und prüft, wo diese Tangente die \(t\)-Achse schneidet, indem man sie gleich \(0\) setzt und nach \(t\) auflöst:$$\left.\underbrace{f(t_0)+f'(t_0)\cdot(t-t_0)}_{\text{die Tangente}}\stackrel{!}{=}0\quad\right|\;-f(t_0)$$$$\left.f'(t_0)\cdot(t-t_0)=-f(t_0)\quad\right|\;:f'(t_0)$$$$\left.t-t_0=-\frac{f(t_0)}{f'(t_0)}\quad\right|\;+t_0$$$$\left.t=t_0-\frac{f(t_0)}{f'(t_0)}\quad\right.$$Dieses \(t\) nimmt man als neuen Näherungswert für die Nullstelle.
Diese Berechnung wiederholt man so lange, bis die Nullstelle hinreichend genau bestimmt wurde. Zusammengefasst heißt das:$$\boxed{t_{n+1}=t_n-\frac{f(t_n)}{f'(t_n)}\quad;\quad t_0=\text{Startwert}}$$
In dem konkreten Fall ist$$f'(t)=-0,004t^3+0,234t^2-4,46t+32$$und die Iterationsschritte im Newton-Verfahren lauten:$$t_{n+1}=t_n-\frac{–0,001t_n^4 + 0,078t_n^3 – 2,23t_n^2 + 32t_n-130}{-0,004t_n^3+0,234t_n^2-4,46t_n+32}$$
Ausgehend vom Startwert \(t_0=0\) erhalten wir folgende Iteration:
Nach \(t\approx6,2169\,\mathrm s\) ist die Geschwindigkeit \(130\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\) erreicht.
