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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Die beiden Seiten des Rechtecks nennen wir \(a\) und \(b\).
1) Eine Rechtecksseite ist 17 cm länger als die andere.$$a=b+17\quad\implies\quad a^2=(b+17)^2$$
2) Die Diagonale beträgt 25 cm.
Mit dem Satz des Pythagoras heißt das:$$a^2+b^2=25^2\implies\quad a^2=25^2-b^2$$
Wir setzen die beiden rechten Seiten der Gleichungen für \(a^2\) gleich:$$(b+17)^2=25^2-b^2\quad\big|\text{1-te binomische Formel links}$$$$b^2+34b+289=625-b^2\quad\big|+b^2$$$$2b^2+34b+289=625\quad\big|-625$$$$2b^2+34b-336=0\quad\big|\div2$$$$b^2+17b-168=0\quad\big|\text{pq-Formel}$$$$b_{1;2}=-\frac{17}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{17}{2}\right)^2+168}=-\frac{17}{2}\pm\sqrt{\frac{289}{4}+\frac{672}{4}}=-\frac{17}{2}\pm\sqrt{\frac{961}{4}}=-\frac{17}{2}\pm\frac{31}{2}$$
Da die Länge der Seite \(b\) positiv sein muss, ist nur die Lösung \(b=\frac{14}{2}=7\) sinnvoll. Dann ist \(a=24\) und der gesuchte Umfang des Rechtecks beträgt:$$U=2a+2b=2\cdot24+2\cdot7=62$$
