Wie viele Möglichkeiten der Gruppenbildung gibt es?

Question

Aufgabe:

In einer Klasse sind 10 Kinder. Für eine Hausaufgabe sollen 5 Gruppen a 2 Personen gebildet werden. Wie viele Möglichkeiten der Gruppenbildung gibt es? [945]

Answer 1

In einer Klasse sind 10 Kinder. Für eine Hausaufgabe sollen 5 Gruppen a 2 Personen gebildet werden. Wie viele Möglichkeiten der Gruppenbildung gibt es? [945]

Ich schätze mal 945.

n = 10 Kinder
k = 5 Gruppen

Die Wahrscheinlichkeit 2 aus 10 Kindern in eine Gruppe von 2 anzuordnen lässt sich ja mit der Formel für Variation ohne Wiederholung berechnen.

\(\Huge\frac{n!}{(n-k)!} = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10\cdot9 = 90\)

Und da es insgesamt 5 Gruppen gibt: \(\Huge5\cdot90=450\)

Comments

Ich schätze mal 945.

Offensichtlich hast du meine Versteckte Antwort in der Frage bereits gefunden :)

Um so trauriger wenn deine Antwort dann 450 lautet.

90 Möglichkeiten gibt es 2 Kinder von 10 unter berücksichtigung der Reihenfolge zu ziehen. Ist dei Reihenfolge denn wichtig bei der Gruppenbildung?

Ist es nicht egal ob Anna mit Beatrice oder Beatrice mit Anna zusammenarbeitet?

Also es gibt 45 Möglichkeiten eine Zweiergruppe zu bilden.

Gibt es jetzt auch 45 Möglichkeiten für die nächste zweiergruppe, wenn Anna nun schon mit Beatrice zusammenarbeitet? Ne, da muss es doch weniger Möglichkeiten geben.

Denke nicht in Formeln. Mit den Pfadregeln kommst du viel einfacher auf die Lösung. Und die Lösung ist auch nicht eine der Grundformeln der Kombinatorik.

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Du nennst etwas "Wahrscheinlichkeit" und gibst dafür einen Wert von 90 an. Fragwürdig.

90 ist die Anzahl der Möglichkeiten aus 10 Kindern ein (geordnetes) Paar auszuwählen. Das kannst Du nicht einfach mit 5 multiplizieren, weil für die weitete Gruppen weniger Kinder zu Auswahl stehen......

ZU SPÄT

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Denke nicht in Formeln. Mit den Pfadregeln

Also es gibt 45 Möglichkeiten eine Zweiergruppe zu bilden.

Dann muss ich ja einfach nur noch durch 2 teilen um auf einen Pfad zu kommen.

\(\Large\frac{n!}{(n-k)!} = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10\cdot9 = 90:2=45\)
\(\Large\frac{8!}{6!} \cdot 0.5 = 28\)
\(\Large\frac{6!}{4!} \cdot 0.5 = 15\)
\(\Large\frac{4!}{2!} \cdot 0.5 = 6\)
\(\Large\frac{2!}{0!} \cdot 0.5 = 1\)

Jetzt einfach die erste Pfadregel anwenden, also miteinander multiplizieren:
\(\Large\frac{1}{45} \cdot \frac{1}{28} \cdot \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1} = \) 8.8183421516755e-6

Und dann wenn man das mal 10! rechnet, kommt eine natürliche Zahl raus.

10! * 8.8183421516755e-6 = 32

Kann wer erklären, was die 32 hier bedeutet?

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Du driftest schon wieder ab und verwechselst Wahrscheinlichkeiten und Möglichkeiten. Das ist nicht das gleiche.

Und

45 * 28 * 15 * 6 * 1
= (10 über 2) * (8 über 2) * (6 über 2) * (4 über 2) * (2 über 2)
= 113400

Ist auch zu viel. Es würde bedeuten, dass wenn man aus 4 Personen Zweiergruppen bilden möchte, dass es dann

(4 über 2) * (2 über 2) = 6 Möglichkeiten

gibt.

(AB, CD), (AC, BD), (AD, BC) sind allerdings nur 3 Möglichkeiten. Siehst du den Fehler.

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113400

Ist auch zu viel.

Die 113400 dann, weil es 5 2er Gruppen gibt zum Schluss noch durch die Permutationsmöglichkeiten teilen?

Also 113400 : 5! = \(\large\underline{\underline{945}}\)

Durch eine Kombination aus der Formel für die Variation ohne Wiederholung, Pfadregeln und die Permutation ohne Wiederholung erhalte ich die Antwort:

A: Es gibt 945 Möglichkeiten der Gruppenbildung.

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A: Es gibt 945 Möglichkeiten der Gruppenbildung.

So ist das Korrekt

Anna hat wie folgt gerechnet:

1 * 9 * 1 * 7 * 1 * 5 * 1 * 3 * 1 * 1 = 9 * 7 * 5 * 3 = 945 Möglichkeiten

Erkläre Annas Überlegungen.

Beatrice hat wie folgt gerechnet:

$$\frac{10!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 5!} = 945$$

Erkläre Beatrices Überlegungen.

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$$\frac{10!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 5!} = 945$$Erkläre Beatrices Überlegungen.

Achsoo... Beatrice hat es sich leicht gemacht und die Formel für die Permutation mit Wiederholungen verwendet:

$$\frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot ... k_n!}$$

Und bei Anna verstehe ich nur Baumdiagram..

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Genau. Anna hat einfach die Pfadregeln der Kombinatorik benutzt.

Entlang eines Pfades werden die Möglichkeiten multipliziert.

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Von "Pfadregeln der Kombinatorik" hab ich noch nie was gehört, dachte bei den Pfaden werden immer die Wahrscheinlichkeiten dazugeschrieben, aber okay wieder etwas neues gelernt.

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Die Pfadregel der Kombinatorik bezeichne ich es. Eigentlich lautet es Fundamentalprinzip der Kombinatorik. Entspricht aber durchaus der ersten Pfadregel. Wenn du weißt das Wahrscheinlichkeiten nach Laplace Quotienten aus Möglichkeiten sind und weißt das bei einer Bruchmultiplikation Zähler und Nenner getrennt multipliziert werden, du also die Anzahlen von Möglichkeiten multiplizierst, dann wird klar warum ich das Pfadregel der Kombinatorik nenne. Weil nichts anderes ist es im Grunde.