Was bedeutet eig. Abb(X,X)?

Question

Aufgabe:

Verstehe die Bezeichnung bei folgendem Zusammenhang einfach nicht, da nichts genaueres im Skript steht:

G = Abb(X,X) = ( f : X → X )              Die Klammern sollen Mengenklammern sein

Problem/Ansatz:

G soll eine Menge sein, dass ist klar. Thematik ist übrigens "Gruppen". Was dannach kommt, ist für mich nicht nicht ganz nachvollziehbar, ausser dass das in den Mengenklammern eine injektive und somit bijektive Selbstabbildung sein soll (!?).

Comments

X → X

ist das nicht eine Abbildung von der Menge X in die Menge X. Mengen werden doch in der Regel großgeschrieben.

Answer 1

ausser dass das in den Mengenklammern eine injektive und somit bijektive Selbstabbildung sein soll (!?).

Nein, das soll einfach nur eine Abbildung von X nach X. Von bijektiv keine Rede

Abb(X,X) ist also die Menge aller Abbildungen von X nach X.

Comments

Danke. Verstehe.

Also steht jetzt f für die Menge aller Abbildungen oder halt nur für eine? Weil da ja ein "=" steht...

Answer 2

\(\{f: \;X\rightarrow X\}\) ist eine abkürzende Schreibweise für

\(\{f\;|\;f:\;X\rightarrow X\}\), wobei \(f:\;X\rightarrow X\) bedeutet, dass

\(f\) eine Abbildung von \(X\) nach \(X\) ist.

\(Abb(X,X)\) ist also die Menge aller Abbildungen von \(X\) nach \(X\).

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Wäre diese Schreibweise auch korrekt:

(f(x)| f(x) e X und x e X)            Klammern entsprechen den Mengenklammer

Allgemeine Frage:

Was kann man sich denn darunter vorstellen? Also ist diese Menge der Wertebereich?

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Wäre diese Schreibweise auch korrekt:

Nein; denn das ist etwas ganz anderes.

Es geht nicht um die Menge der Werte von Abbildungen, sondern

um die Menge der Abbildungen selbst.

Hier ein Beispiel: Sei \(X=\{1,2\}\). Dann gibt es folgende

Abbildungen \(X\rightarrow X\).

\(f_1\) mit \(f_1(1)=1, \; f_1(2)=1\),

\(f_2\) mit \(f_2(1)=1, \; f_2(2)=2\),

\(f_3\) mit \(f_3(1)=2, \; f_3(2)=1\),

\(f_4\) mit \(f_4(1)=2, \; f_4(2)=2\).

In diesem Fall ist \(Abb(X,X)=\{f_1,f_2,f_3,f_4\}\)

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Cool! Danke... Also ist das f, das oben in der Aufgabe steht ein allgemeines f und steht für alle Abbildungen..?

Weil wir bearbeiten in dem Skriptabschnitt " Gruppen " und dort gibt es noch ein g mit f,g ∈ G.

f o g ∈ G

Aber:

g o f ∉ G

g wird zuerst ausgeführt, damit die Komposition in G liegt. Versteh einfach nicht wieso..

Müsste nicht auch g ∈ f sein?

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Also ist das f, das oben in der Aufgabe steht ein allgemeines f und steht für alle Abbildungen..?

Ja, so ist es :-)

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Gut. Und das bedeutet dann g ∈ f ?