Zeigen Sie, dass für beliebige Funktionen u, v und w die Verkettung assoziativ ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für beliebige Funktionen u, v und w die Verkettung assoziativ ist, dass also $\large u\circ (v\circ w) = (u\circ v)\circ w$ gilt.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Um zu zeigen, dass $u\circ(v\circ w)=(u\circ v)\circ w$ gilt, lasse beide Funktions-Verknüpfungen auf ein Argument $x$ wirken und prüfe, ob dasselbe Ergebnis herauskommt:$$(u\circ(v\circ w))(x)=u(v\circ w)(x)=u(v(w(x))$$$$((u\circ v)\circ w)(x)=(u\circ v)(w(x))=u(v(w(x))$$

Comments

Könntest du erklären, wie die Rechenschritte genau aussehen?

$(u\circ(v\circ w))(x)=u(v\circ w)(x)=u(v(w(x))$

1. Warum löst sich vom ersten zum zweiten Term die Klammer auf?
2. Warum verschmilzt es zu u(v(w(x))?

---

Funktionen werden von rechts nach links ausgewertet.

1) Die Funktion $u$ wirkt auf die Funktion $(v\circ w)$, daher wird $(v\circ w)$ das Argument von $u$.

2) Die Funktion $(v\circ w)$ wirkt auf das Argument $x$:$$(v\circ w)(x)=v\circ w(x)=v(w(x))$$

---

Diese Aufgabe stammt aus einem Schulbuch. Gibt es da nicht etwas leichteres, als die beiden verketteten Funktion auf "ein Argument x wirken" zu lassen?

Answer 2

Bin mir nicht ganz sicher, ob das von der Notation so korrekt notiert ist. Die Idee dahinter sollte aber richtig sein.

u ο (v ο w)
= u(x) ο v(w(x))
= u(v(w(x)))

(u ο v) ο w
= u(v(x)) ο w(x)
= u(v(w(x)))

Answer 3

$\large u\circ (v\circ w) = (u\circ v)\circ w$

Zeige, dass für jedes x aus dem Def.bereich von w gilt

$(\large u\circ (v\circ w))(x) =((u\circ v)\circ w) (x)$

Also etwa so:

$(\large u\circ (v\circ w))(x)$

Hier wird zuerst $v\circ w$ auf x angewandt, das gäbe v( w(x))

Auf dieses Ergebnis wird nun u angewandt, also hat man u( v(w(x)) .

Auf der anderen Seite $((u\circ v)\circ w) (x)$

wird zuerst w auf angewandt, das gibt w(x).

Auf dieses Ergebnis wird $u\circ v$ angewandt,

also zuerst v, das gibt v( w(x)) und darauf dann u, das gibt

wieder u( v(w(x)) . Also beide Seiten gleich.

Comments

Zeige, dass für jedes x aus dem Def.bereich von w gilt

Das ist ein wesentlicher Punkt. Lassen sich nicht vielleicht drei Funktionen u, v und w, finden, bei denen die angesprochenen Verknüpfungen zwar formal identisch sind, die sich aber im Definitionsbereich unterscheiden?

Answer 4

$u\circ (v\circ w)=(u\circ v)\circ w$ ist eine Gleichung von Abbildungen.

Eine solche beweist man, indem man die Gleichheit der Bilder für alle

Argumentwerte nachweist, also indem man zeigt:

$(u\circ (v\circ w))(x)=((u\circ v)\circ w)(x)$ für alle $x$ im

Definitionsbereich von $w$.