Zeigen Sie, dass für beliebige Funktionen u, v und w die Verkettung assoziativ ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für beliebige Funktionen u, v und w die Verkettung assoziativ ist, dass also \(\large u\circ (v\circ w) = (u\circ v)\circ w\) gilt.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Um zu zeigen, dass \(u\circ(v\circ w)=(u\circ v)\circ w\) gilt, lasse beide Funktions-Verknüpfungen auf ein Argument \(x\) wirken und prüfe, ob dasselbe Ergebnis herauskommt:$$(u\circ(v\circ w))(x)=u(v\circ w)(x)=u(v(w(x))$$$$((u\circ v)\circ w)(x)=(u\circ v)(w(x))=u(v(w(x))$$

Comments

Könntest du erklären, wie die Rechenschritte genau aussehen?

\((u\circ(v\circ w))(x)=u(v\circ w)(x)=u(v(w(x))\)

1. Warum löst sich vom ersten zum zweiten Term die Klammer auf?
2. Warum verschmilzt es zu u(v(w(x))?

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Funktionen werden von rechts nach links ausgewertet.

1) Die Funktion \(u\) wirkt auf die Funktion \((v\circ w)\), daher wird \((v\circ w)\) das Argument von \(u\).

2) Die Funktion \((v\circ w)\) wirkt auf das Argument \(x\):$$(v\circ w)(x)=v\circ w(x)=v(w(x))$$

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Diese Aufgabe stammt aus einem Schulbuch. Gibt es da nicht etwas leichteres, als die beiden verketteten Funktion auf "ein Argument x wirken" zu lassen?

Answer 2

Bin mir nicht ganz sicher, ob das von der Notation so korrekt notiert ist. Die Idee dahinter sollte aber richtig sein.

u ο (v ο w)
= u(x) ο v(w(x))
= u(v(w(x)))

(u ο v) ο w
= u(v(x)) ο w(x)
= u(v(w(x)))

Answer 3

\(\large u\circ (v\circ w) = (u\circ v)\circ w\)

Zeige, dass für jedes x aus dem Def.bereich von w gilt

\( (\large u\circ (v\circ w))(x) =((u\circ v)\circ w) (x) \)

Also etwa so:

\( (\large u\circ (v\circ w))(x) \)

Hier wird zuerst \(  v\circ w \) auf x angewandt, das gäbe v( w(x))

Auf dieses Ergebnis wird nun u angewandt, also hat man u( v(w(x)) .

Auf der anderen Seite \( ((u\circ v)\circ w) (x) \)

wird zuerst w auf angewandt, das gibt w(x).

Auf dieses Ergebnis wird \(  u\circ v \) angewandt,

also zuerst v, das gibt v( w(x)) und darauf dann u, das gibt

wieder u( v(w(x)) . Also beide Seiten gleich.

Comments

Zeige, dass für jedes x aus dem Def.bereich von w gilt

Das ist ein wesentlicher Punkt. Lassen sich nicht vielleicht drei Funktionen u, v und w, finden, bei denen die angesprochenen Verknüpfungen zwar formal identisch sind, die sich aber im Definitionsbereich unterscheiden?

Answer 4

\(u\circ (v\circ w)=(u\circ v)\circ w\) ist eine Gleichung von Abbildungen.

Eine solche beweist man, indem man die Gleichheit der Bilder für alle

Argumentwerte nachweist, also indem man zeigt:

\((u\circ (v\circ w))(x)=((u\circ v)\circ w)(x)\) für alle \(x\) im

Definitionsbereich von \(w\).