Konvergenz Folge von Vektoren bestimmen

Question

Aufgabe: Es soll untersucht werden,ob die Folge von Vektoren ak :=(1/k²  +2/k²  +....k/k² , \( \sqrt{k² +3k} \)-k konvergent ist und wenn ja soll der Grenzwert angegeben werden.

Problem/Ansatz: Bei der ersten Koordinatenfolge,also a1^(k) verstehe ich nicht,wie man von 1/k2  +2/k2  +....k/k2 auf die Umformung 1/k² *(k*(k+1)/2) kommt ?

Text erkannt:

Aufgabe 4
Untersuchen Sie die Folgen \( \left(\vec{a}_{k}\right)_{k \geq 1} \) und \( \left(\vec{b}_{k}\right)_{k \geq 1} \) mit
\( \vec{a}_{k}:=\left(\frac{1}{k^{2}}+\frac{2}{k^{2}}+\ldots+\frac{k}{k^{2}}, \sqrt{k^{2}+3 k}-k\right) \quad \text { und } \quad \vec{b}_{k}:=\left(k^{2}\left(\sqrt[3]{k^{3}+1}-k\right), \prod \limits_{r=2}^{k}\left(1+\frac{1}{r}\right)\right) \)
auf Konvergenz in \( \mathbb{R}^{2} \) und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
Lösung:
Für die erste Koordinatenfolge von \( \left(\vec{a}_{k}\right)_{k \geq 1} \) ergibt sich
\( \left.a_{1}^{(k)}=\frac{1}{k^{2}}+\frac{2}{k^{2}}+\ldots+\frac{k}{k^{2}}=\frac{1+2+\ldots+k}{k^{2}}=\frac{1}{k^{2}} \frac{k(k+1)}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{k}\right) \stackrel{k \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{2} \)

Answer 1

Das ist die Summenformel, die Carl Friedrich Gauß im Alter von 8 Jahren gefunden hat:

1+2+3+...+(k-1)+k =k(k+1)/2

Überzeuge dich, dass z.B. gilt:

1+2+3 = 3*4/2

1+2+3+4 = 4*5/2

1+2+3+4+5 = 5*6/2

Comments

Ja stimmt,ganz vergessen,dass die Summenformel von Gauß ja noch existiert.

Vielen Dank.