Beweis Mengen( Rationale und Natürliche Zahlen) in der Q.Funktion

Question

Aufgabe

Sei \( f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \) wie folgt definiert: \( f(x)=x^{2} \). Beweise
\( f(\mathbb{N}) \cap \mathbb{N}=f(\mathbb{Q}) \cap \mathbb{N} . \)

Problem

Ich brauche einen Ansatz für das Lösen der Aufgabe. Danke im Voraus!

Answer 1

Das Problem lässt sich auf die Aussage reduzieren, dass es keine rationale Zahl (die nicht gleichzeitig eine ganze Zahl ist) gibt, die quadriert eine natürliche Zahl ergibt.

Wir wählen eine gekürzte rationale Zahl p/q, die keine ganze Zahl ist (also p,q teilerfremd und q ungleich 1).

Nehmen wir an, ihr Quadrat (p^2/q^2) wäre eine natürliche Zahl. Dafür müsste es einen Teiler geben der p^2 und q^2 teilt. Das kann aber nicht sein, da p und q jeweils teilerfremd sind (falls das nicht klar ist, überlege dir die Primfaktoren beider Zahlen, es darf kein Primfaktor in beiden Zahlen vorkommen. In den Quadraten der Zahlen kommen die Primfaktoren aber nur doppelt so oft vor, es kommen keine neuen hinzu, also sind auch die Quadrate teilerfremder Zahlen teilerfremd).

Also führt die Annahme, dass das Quadrat eine natürliche Zahl ist, zum Widerspruch.

Das ist nur die Beweisskizze falls du noch Fragen hast, meld dich gerne.

LG