Unbekannte Regel pythagoräischer Formel für Herleitung Integral

Question

Aufgabe: Umformung einer pythagoräischen Formel zur Bestimmung der Länge eines Parabelbogens zb einer Funktion der Art f(x)=a*x^2

Problem/Ansatz:

Unverständlich ist die Umformungsregel, siehe Screenshot. Danke

Siehe Umwandlung in Text / Formel:

und für die Länge \( l_{n} \) aller Streckensegmente des Kurvenbogens über das gesamte Intervall \( [a, b]: \)
\( \begin{array}{c} l_{n}= \\ \sum \limits_{k=0}^{n-1} \sqrt{\left(f\left(x_{k+1}\right)-f\left(x_{k}\right)\right)^{2}+\left(x_{k+1}-x_{k}\right)^{2}} \end{array} \)
Nun formen wir dies zu
\( \begin{array}{c} l_{n}= \\ \sum \limits_{k=0}^{n-1} \sqrt{1+\left(\frac{f\left(x_{k+1}\right)-f\left(x_{k}\right)}{x_{k+1}-x_{k}}\right)^{2}}\left(x_{k+1}-x_{k}\right) \end{array} \)
um. Jetzt lassen wir die Länge der einzelnen Teilintervalle gegen 0 gehen und erhalten für die Länge \( l \) des Kurvenbogens das Integral:

Comments

Es gilt $$ \sqrt{a^2 + b^2} = |a| \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2} $$

Sehr wahrscheinlich ist \( (x_{k+1} - x_k) \ge 0 \) vorausgesetzt, dann kann man den Betrag auch weglassen.

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Danke Für eure schnellen Antworten.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich lasse das Summenzeichen weg, da es ungeändert bleibt:$$\phantom=\sqrt{(f(x_{k+1})-f(x_k))^2+\pink{(x_{k+1}-x_k)^2}}$$Wir klammen unter der Wurzel den pink markierten Term aus:$$=\sqrt{\left(\frac{(f(x_{k+1})-f(x_k))^2}{\pink{(x_{k+1}-x_k)^2}}+1\right)\cdot\pink{(x_{k+1}-x_k)^2}}$$Jetzt spalten wir die Wurzel an den Faktoren auf:$$=\sqrt{\frac{(f(x_{k+1})-f(x_k))^2}{\pink{(x_{k+1}-x_k)^2}}+1}\cdot\sqrt{\pink{(x_{k+1}-x_k)^2}}$$Die zweite Wurzel kannst du noch ausrechnen:$$=\sqrt{1+\left(\frac{f(x_{k+1})-f(x_k)}{x_{k+1}-x_k}\right)^2}\cdot\left|x_{k+1}-x_k\right|$$

Beachte bitte die Betragszeichen um den letzen Faktor. Diese kann man nur weglassen, wenn sicher \(x_{k+1}>x_k\) ist.

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Danke Danke, super verständlich

Answer 2

Hallo,

da wird mit \(\frac{(x_{k+1}-x_k)^2}{(x_{k+1}-x_k)^2}=1\) erweitert, wobei der Zähler aus der Wurzel rausgezogen wird.$$\sqrt{(f(x_{k+1})-f(x_k))^2+(x_{k+1}-x_k)^2} \\ =\sqrt{\left[(f(x_{k+1})-f(x_k))^2+(x_{k+1}-x_k)^2\right]\frac{(x_{k+1}-x_k)^2}{(x_{k+1}-x_k)^2}} \\ =\sqrt{\left[(f(x_{k+1})-f(x_k))^2+(x_{k+1}-x_k)^2\right]\frac{1}{(x_{k+1}-x_k)^2}}\cdot (x_{k+1}-x_k) \\ =\sqrt{\left(\frac{f(x_{k+1})-f(x_k)}{x_{k+1}-x_k}\right)^2+1}$$

Comments

Dankeschön. Groschen gefallen. Trickreich