2) Berechne zuerst die Diagonale von vorne unten rechts bis hinten unten links. Diese Diagonale bildet mit der Kante nach hinten oben links die Katheten eins rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse die gesuchte Raumdiagonale ist.
3) Die Höhe teilt die Grundseite eines gleichseitigen Dreiecks in zwei gleiche Hälften. Eine dieser Hälften bildet zusammen mit der Höhe die Katheten eins rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse eine weitere Seite ist. Setze diese Daten in den Satz des Pythagoras ein und löse nach h auf. Flächeninhalt bekommst über 1/2 · Grundseite · Höhe.
4) Das Dreieck über der Grundseite a ist gleichschenklig, weil das Sechseck regelmäßig ist. Wegen Winkelsumme im Dreieck gilt 2β+60°=180° für die Basiswinkel β. Also sind die Basiswinkel ebenfalls 60°. Das Dreieck über der Grundseite a ist also nicht nur gleichschenklig, sondern auch gleichseitig. Somit gilt x = a. Verfahre wie unter 3) um h zu berechnen. Das sechsfache des Flächeninhalts eines Dreiecks ist der Flächeninhalt des Sechsecks.
5) Oberfläche ist das vierfache des Flächeninhalts eines gleichseitigen Dreiecks.
Volumen ist 1/3 · Grundfläche · Höhe, weil ein Tetraeder eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche ist. Grundfläche ist bekannt.
Zeichne die Höhe der Grundfläche von der rechten Ecke zur linken Seite ein. Zeichne die Höhe des linken Dreiecks von der Spitze aus ein. Wie lang diese sind weißt du bereits.
Zeichne die Höhe hT des Tetraeders von der Spitze bis zur Höhe der Grundfläche ein. Diese Höhe musst du noch berechnen. Sie unterteilt die Höhe der Grundfläche in zwei Teile, p und q. Es gilt
p + q = Höhe der Grundfläche
Außerdem ist hT die Kathete von zwei rechtwinkligen Dreiecken mit Katheten p bzw. q. Stelle für jedes den Satz des Pythagoras auf. Das ergibt zusammen mit p + q = Höhe der Grundfläche ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit den Unbekannten p, q und hT. Löse dieses Gleichungssystem.
