Flächeninhalt Fünfeck

Question

Aufgabe: Flächeninhalt des regelmässigen Fünfecks

Problem/Ansatz:

Ich habe ein regelmässiges Fünfeck gegeben. a ist die Seitenlänge und d die Diagonale. Die Diagonalen schneiden sich untereinander( im goldenen Verhältnis) und es bilden sich ähnliche Dreiecke mit Grundseite d bzw. a (im Fünfeck)

Die Längen einander entsprechender Strecken der Dreiecke sind proportional; es gilt: d:a = a : (d-a)  bzw.        d² - ad - a² = 0 . Bis zu hier ist alles nachvollziehbar.

Danach folgt Folgendes:  Die Zahl (sigma) = d: a genügt der quadratischen Gleichung (σ)² - (σ) - 1 = 0; wegen (σ) >1 ergibt sich  σ =(1+\( \sqrt{5} \)):2 und d = a * (1+\( \sqrt{5} \) ):2.

Ich sehe, dass man die Gleichung d² - ad - a2 = 0 durch a2 teilt und dann auf (σ)2 - (σ) - 1 = 0 kommt, wenn man σ = d:a einsetzt. Jedoch ist mir nicht klar, warum das gemacht wird. Was heisst dieses " Die zahl sigma = d : a, genügt der quadratischen Gleichung (σ)2 - (σ) - 1 = 0; wegen (σ) >1.

Was genau ist mit sigma gemeint?

Ich wäre sehr froh, wenn jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte!

Danke im Voraus

Answer 1

Jedoch ist mir nicht klar, warum das gemacht wird.

\(\sigma=d/a\), also die Zahl, die aussagt, um welchen Faktor

die Diagonale \(d\) größer ist als die Seiten \(a\), ist unabhängig

von der Größe des regulären 5-Ecks. Dieses Verhältnis ist

für alle regulären 5-Ecke gleich. Damit ist man für

die weiteren Überlegungen z.B. die Abhängigkeit von der Länge der Seiten,

also von dem verwendeten "Maßstab" losgeworden.

Das nährt die Hoffnung, einen für alle regulären 5-Ecke

gültigen übersichtlichen Zusammenhang zwischen Seitenlänge

und Fläche leichter finden zu können.

Macht man \(a\) zur Längeneinheit, so ist \(a=1\, LE\),

\(d=\sigma \,LE\). Wenn man dann eine Formel für die

Fläche in diesem "standardisierten" 5-Eck mit Seitenlänge 1

gefunden hat, muss man diese nur mit \(a^2\) multiplizieren,

um die "wahre" Fläche zu erhalten.