Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es für 2 gelbe, 3 blaue, 2 grüne, 3 orange und 4 rote Kugeln?

Question

Aufgabe: Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es für 2 gelbe, 3 blaue, 2 grüne, 3 orange und 4 rote Kugeln, wenn eine Kombination aus maximal 4 Kugeln bestehen darf? (Reihenfolge spielt bei der Kombination keine Rolle)

Problem/Ansatz:

… Muss man bei sowas alles einzeln berechnen? Also die Möglichkeiten für 4 Rote, dann 3 Rote + 1 andere, dann 2 Rote + 2 andere , dann 1 Rote + 3 andere oder gibt es für sowas auch eine Formel, mit der man direkt auf die Lösung kommt?

Answer 1

Erst mal das offensichtliche.

Wenn ich keine Kugel wähle, habe ich 1 Möglichkeit.

Wenn ich 1 Kugel wähle, habe ich 5 Möglichkeiten.

Wenn ich 2 Kugel wähle, habe ich (5 + 2 - 1 über 2) = 15 Möglichkeiten.

Wenn ich 3 Kugel wähle, habe ich leider nicht (5 + 3 - 1 über 3) = 35 Möglichkeiten. Wie viele Möglichkeiten sind hier zu viel. D.h. wie viele Möglichkeiten müsste ich noch abziehen.

So bei 4 Kugeln wird das jetzt aber schon aufwändig. Wenn ich mich recht erinner hat für den Fall das von allen Kugeln die gleiche Menge da sind jemand mal eine Formel hergeleitet. Mir ist aber keine Formel bekannt wenn von verschiedenen Kugeln unterschiedliche Maximale Anzahlen vorhanden sind. D.h. hier muss man entweder die die Möglichkeiten Additiv zusammensetzen oder wie im vorherigen Fall subtraktiv ermitteln. Mischformen sind auch denkbar.

COMB(3 + 4 - 1, 4) - 2 = 13
2·COMB(3 + 3 - 1, 3) = 20
3·COMB(3 + 2 - 1, 2) = 18
2·COMB(3 + 1 - 1, 1) = 6
1·COMB(3 + 0 - 1, 0) = 1

In der Summe also 58 Möglichkeiten, wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Man könnte hier aber auch ein Computerprogramm bemühen die Möglichkeiten durchzuzählen.

Ich komme also insgesamt auf 112 Möglichkeiten.

Comments

program Kombinatorik;

var anzahl, gelb, blau, gruen, orange, rot: integer;

begin
    anzahl := 0;
        for gelb := 0 to 2 do begin
        for blau := 0 to 3 do begin
            for gruen := 0 to 2 do begin
                for orange := 0 to 3 do begin
                    for rot := 0 to 4 do begin
                        if (gelb+blau+gruen+orange+rot <= 4) then begin;
                            anzahl := anzahl + 1;
                        end;
                    end;
                end;
            end;
        end;
    end;
    writeln(anzahl, ' Möglichkeiten.')
end.

Das Programm kommt auch auf 112 Möglichkeiten.

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Man könnte hier aber auch ein Computerprogramm bemühen die Möglichkeiten durchzuzählen.

Richtig, man könnte auch WolframAlpha verwenden:

https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=coefficient+of+Power%5Bx%2C4%5D+in+Power%5B%5C%2840%291%2Bx%2BPower%5Bx%2C2%5D%2BPower%5Bx%2C3%5D%5C%2841%29%2C2%5D+*+Power%5B%5C%2840%291%2Bx%2BPower%5Bx%2C2%5D%5C%2841%29%2C2%5D+*+Power%5B%5C%2840%291%2Bx%5C%2841%29%2C0%5D+*+Power%5B%5C%2840%291%2Bx%2BPower%5Bx%2C2%5D%2BPower%5Bx%2C3%5D%2BPower%5Bx%2C4%5D%5C%2841%29%2C1%5D

Ich komme also insgesamt auf 112 Möglichkeiten.

Die richtige Lösung ist aber 58.

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Wie hat Wolfram alpha Deine Aufgabenstellung "maximal 4" berücksichtigt?

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,w coefficient of x^4 in (1+x+x^2+x^3)^2 * (1+x+x^2)^2 * (1+x+x^2+x^3+x^4)^1

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Klar, aber maximal 4 heißt 1,2,3,4

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Maximal 4 Kugeln bedeutet sogar ich brauche auch keine nehmen.