Berechnen Sie die Taylorreihe der Funktion (1+x)/(2+x)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Taylorreihe der Funktion

f: ℝ\{-2} → ℝ, f(x) = \( \frac{1+x}{2+x} \)

an der Entwicklungsstelle x₀ = -1.

Auch der Konvergenzbereich der Entwicklung soll angegeben werden

Problem/Ansatz:

Meine Idee war es, dass ich das Ganze umforme und dann mithilfe der geometrischen Reihe löse.

$$f(x)=\frac{1+x}{2+x}=\frac{1}{2}(1+x)*\frac{1}{1-(-\frac{1}{2}x)}=\frac{1}{2}(1+x)\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-\frac{1}{2}x)^{n}=...$$

Allerdings soll die Lösung folgendermaßen aussehen:

Es gilt

\( \begin{aligned} f(x) &=\frac{1+x}{2+x}=(1+x) \cdot \frac{1}{1+(1+x)} \\ &=(1+x) \cdot \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(1+x)^{n} \\ &=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(1+x)^{n+1} \\ &=\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(1+x)^{n} \end{aligned} \)
für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |1+x|<1 \), d.h. mit \( -2<x<0 \).

Hierbei verstehe ich vor allem nicht wie der Schritt von Zeile 1 zur Zeile 2 funktioniert. Außerdem verstehe ich nicht, warum meine Idee falsch ist.

Ich würde mich über Antworten freuen.

Answer 1

Der Grenzwert der geometrischen Reihe ist \(\frac{1}{1-q}\).

Die geometrische Reihe hierzu ist \(\sum q^n\).

In unserem Falle wollen wir eine Potenztreihe

der Form \(\sum a_n(x+1)^n\) bekommen, d.h. unser \(q\) ergibt sich aus

\(\frac{1}{1+(x+1)}=\frac{1}{1-q}\) zu \(q=-(x+1)\).

Die zugehörige geometrische Reihe hat also die Gestalt

\(\sum (-(x+1))^n=\sum (-1)^n (x+1)^n\).

Answer 2

Es gilt \( \frac{1}{1+(1+x)} =\frac{1}{1-(-(1+x))} \).

Wenn du jetzt q=-(1+x) setzt, hast du \(\frac{1}{1-q}\), was sich als geometrische Reihe 1+q+q^2+q^3+... schreiben lässt.