Heron'sche Zahlentripel bestimmen

Question

Aufgabe:

Drei aufeinanderfolgende Natürliche Zahlen: a-1, a, a+1, die (als Seitenlängen) ein Dreieck mit ganzzahligem Flächeninhalt bilden, nennt man ein Heron'sches Zahlentripel. Bestimme zwei solche Tripel.

Problem/Ansatz:

Hallo Zusammen,

Ich habe mit der Formel von Heron für die Fläche A = s(s-a)(s-b)(s-c) unter der Wurzel angefangen.

Durch Umformen bin ich bis zu x =( 3a² * (a⁴-4) : 16 )unter der Wurzel gekommen. x ∈Z, ist dabei der Flächeninhalt des Dreiecks.

Jedoch komme ich nicht weiter und finde diese Tripel nicht!

Danke im Voraus für eure Unterstützung!

Comments

Nach meinen Berechnungen muss es \(A(a)={\large\frac14}a\sqrt{3(a^2-4)}\) heißen.
Ganzzahlige Werte liefern z.B. a = 2, a = 4, a = 14, a = 52, a = 194, etc.

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Ganzzahlige Werte liefern z.B. a = 2, a = 4, a = 14, a = 52, a = 194, etc.

guckst Du hier (dort ist \(a=m+1\)).

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Ja, ich hätte ( a2 - 4 ) schreiben müssen. Habe es falsch geschrieben!

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Kannst du mir vielleicht sagen, wie du auf a=2, 14, 52 usw. kommst! Deine Formel stimmt, ich habe meine falsch getippt!

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Kannst du mir vielleicht sagen, wie du auf a=2, 14, 52 usw. kommst

Entweder machst Du es wie abakus (s.u.) (und ich) und gibst das in ein Tabellenkalkulationsprogramm ein, welches Dir dann eine ausreichend große Anzahl von Zahlen durchprobiert ...

... oder Du folgst dem Link, den ich Dir oben gegen habe und liest dort unter 'FORMULA'$$a(n) = \left(2 + \sqrt{3}\right)^n + \left(2 - \sqrt{3}\right)^n - 1$$und lasse dann das \(-1\) am Ende weg, da dort die Tripel mit \(\{a,\,a+1,\,a+2\}\) definiert sind.

Answer 1

Offensichtlich muss 3a² * (a⁴-4) eine durch 16 teilbare Quadratzahl sein.

Die Teilbarkeit durch 16 ist für jedes gerade a gegeben, denn dann sind a^2 und auch a^4 und damit auch a^4-4  jeweils Vielfache von 4.

Jetz wäre nur noch herauszufinden, wann 3a^2 * (a^4-4) eine Quadratzahl ist. Das ist der Fall, wenn (a^4-4) das Dreifache einer Quadratzahl ist.

Hier höre ich jetzt aber auf, weil ich ein Tripel vorher schon hatte (das Tripel (3,4,5) liefert den Inhalt 6), und weil der erste weitere Versuch mit a=2 in deinem Term bereits einen Treffer liefert.

a=2 kann aber andererseits nicht stimmen, weil mit a=2 die Seitenlängen 1, 2 und 3 wären, dieses Dreieck aber zu einer Linie entartet und somit den Inhalt 0 hätte (und nicht x=3, wie deine Formel suggeriert). Stimmt deine Formel wirklich?

Comments

Tut mir leid! Sie haben recht! Es wäre nicht x = ... sondern x im Quadrat!

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Ich habe mal mit einer Tabellenkalkulation probiert.

Nach (3,4,5) folgt als nächstes (13,14,15) mit A=84, dann

(51,52,53) mit A=1170, dann (193, 194, 195) mit A=16296