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Aufgabe:

Ist (a, b, c) ein pythagoräisches Zahlentripel, so ist 60 ein Teiler von abc.?


Problem/Ansatz:

wie kann man zeigen?


Lg

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Unknown: https://www.onlinemathe.de/forum/Pythagoraeisches-Zahlentripel

1 Antwort

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Jedes pimitive pythagoräische Tripel \((a,b,c)\) lässt sich aus einem Paar \((m,n)\) mit \(m>n\) erzeugen, nämlich

        \(\begin{aligned}a&=m^2-n^2\\b&=2mn\\c&=m^2+n^2\text{.}\end{aligned}\)

Dann ist

        \(a\cdot b\cdot c = 2mn(m^4-n^4)\).

Wegen \(60=3\cdot 4\cdot 5\) genügt es deshalb, zu zeigen: Ist

        \((m^2-n^2,\,2mn,\,m^2+n^2)\)

ein pimitives pythagoräisches Tripel, dann gilt

        \(\begin{aligned}4|2mn\\3\nmid 2mn&\implies 3|m^4-n^4\\5\nmid 2mn&\implies 5|m^4-n^4\text{.}\end{aligned}\)

Avatar von 106 k 🚀

wie kann man das zeigen?

\(4|2mn\): Begründe warum \(m\cdot n\) gerade ist.

\(3\nmid 2mn\implies 3|m^4-n^4\): Angenommen \(3\nmid 2mn\). Dann gilt \(3\nmid m\) und \(3\nmid n\). Also existieren \(k,i\in \mathbb{N}\) mit

        \(m = 3k+1\vee m=3k+2\)

und

        \(n = 3i+1\vee n=3i+2\).

Setze in \(m^4-n^4\) ein.

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