bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion f(x)= kx³+x²−1/k

Question

Thema: Funktionsschar

Aufgabe:

bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion f_k(x)= kx³+x²−\( \frac{1}{k} \)x mit k ≥ 0

Problem/Ansatz:

Die zugehörigen X-Werte habe ich bereits ermittelt. Für den Hochpunkt: x = -\( \frac{1}{k} \)  und für den Tiefpunkt x = \( \frac{1}{3×k} \)

Ich wäre euch dankbar wenn jemand einmal näher erläutern könnte, wie man die X-Koordinaten in die Ausgangsfunktion korrekt einsetzt und wie man auf die Koordinaten; TP \( \frac{1}{3k} \) | \( \frac{−5}{27k²} \) und HP \( \frac{-1}{k} \) | \( \frac{1}{k²} \) kommt.

Answer 1

Willkommen in der Mathelounge,

\(f(-\frac{1}{k})=k\cdot \big(-\frac{1}{k}\big)^3+\big(-\frac{1}{k}\big)^2-\frac{1}{k}\cdot \big(-\frac{1}{k}\big)\\ =-\frac{k}{k^3}+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^2}\\ =-\frac{k}{k^3}+\frac{2}{k^2}=-\frac{k}{k^3}+\frac{2k}{k^3}=\frac{k}{k^3}=\frac{1}{k^2}\\[15pt] f\big(\frac{1}{3k}\big)=k\cdot \big(\frac{1}{3k}\big)^3+\big(\frac{1}{3k}\big)^2-\frac{1}{k}\cdot \frac{1}{3k}\\ =\frac{k}{27k^3}+\frac{1}{9k^2}-\frac{1}{3k^2}\\ =\frac{k}{27k^3}+\frac{3k}{27k^3}-\frac{9k}{27k^3}\\ =\frac{-5k}{27k^3}=-\frac{5}{27k^2}\)

Melde dich, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Text erkannt:

\( =-\frac{k}{k^{3}}+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{k^{2}} \)
\( =-\frac{k}{k^{3}}+\frac{2}{k^{2}}=-\frac{k}{k^{3}}+\frac{2 k}{k^{3}}=\frac{k}{k^{3}}=\frac{1}{k^{2}} \)

Könnten sie erklären, wie genau sie in dem markierten Teil vorgegangen sind?

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\(-\frac{k}{k^3}+\frac{2k}{k^3}=\frac{-k+2k}{k^3}=\frac{k}{k^3}=\frac{1}{k^2}\)

Ist es jetzt klar?

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Ja, vielen Dank für die Hilfe