Bestimme die Wahrscheinlichkeit für den Wert der kleinsten gezogenen Zahl

Question

Aufgabe:

Eine Urne enthält zwölf Kugeln mit den Zahlen 0,1 oder 2 darauf (eine Null, zwei Einsen und neun Zweien). Drei Bälle werden zufällig ohne Zurücklegen ausgewählt.

Sei X der Wert der kleinsten gezogenen Zahl. Vervollständigen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungstabelle:

Answer 1

Baumdiagramm mit drei Ebenen, eine pro Zug.

Comments

Ein Baumdiagramm alleine, scheint aber nicht zu reichen. Wie kommt man auf die Anzahl der Pfade?

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Dieses Baumdiagramm ist doch schon komplett?

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Es gibt 12 Kugeln und man zieht 3 ohne Zurücklegen.

Also gibt es 12!/9! = 1.73820100608e+14 Möglichkeiten wie man ziehen kann.

Wie kommt man jetzt zum Beispiel auf die Anzahl der Möglichkeiten "3 x eine Kugel mit zwei" zu ziehen?

Es muss ja, ein Viertel von diesem Ergebnis rauskommen, falls p = 1/4 richtig sein sollte..

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Sei X der Wert der kleinsten gezogenen Zahl.

Schreibe unter jeden Pfad die kleinste gezogene Zahl.

Brechne für jeden Pfad, unter dem eine 0 steht, dessen Wahrscheinlichkeit. Addiere diese Wahrscheinlichkeiten. Das Ergebnis ist P(X = 0).

Verfahre ebenso um P(X = 1) und P(X = 2) zu berechnen.

Wie kommt man auf die Anzahl der Pfade?

Es gibt 12 Pfade, bei denen die kleinste gezogene Zahl eine 0 ist. Das kann man aus dem Baumdiagramm ablesen.

Diese Anzahl hilft dir aber nicht wirklich weiter, weil diese Pfade unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben. Zum Beispiel hat der Pfad (1,1,0) eine andere Wahrscheinlichkeit als der Pfad (2,0,2) obwohl in beidne Pfaden die 0 die kleinste Zahl ist.

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Diese Anzahl hilft dir aber nicht wirklich weiter, weil diese Pfade unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben.

Deswegen die Frage: Wie kommt man auf die Anzahl der Möglichkeiten?

Dann lässt sich ja die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace anwenden:

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@ hikoba: Wie kannst Du aus 12!/9! So eine riesige Zahl ausrechnen?

Alles weiter hat Oswald schon kommentiert.

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12!/9! = 1320

9!/6! = 504

Die Wahrscheinlichkeit, 3x Kugeln mit einer zwei zu ziehen, beträgt 504/1320 = 0.38.

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Genau das wurde im  diesem Thread schon 3mal gezeigt, einmal durch Deinen Baum.

Answer 2

Aloha :)$$U=(0,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2)$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 3 Ziehungen die eine "0" dabei ist, beträgt:$$P(X=0)=\frac{\binom{1}{1}\cdot\binom{11}{2}}{\binom{12}{3}}=\frac{1\cdot\frac{11}{2}\cdot\frac{10}{1}}{\frac{12}{3}\cdot\frac{11}{2}\cdot\frac{10}{1}}=\frac14$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 3 Ziehungen die "0" nicht dabei ist, aber mindestens eine "1", beträgt:$$P(X=1)=\underbrace{\frac{\binom{1}{0}\cdot\binom{2}{1}\cdot\binom{9}{2}}{\binom{12}{3}}}_{\text{genau eine "1"}}+\underbrace{\frac{\binom{1}{0}\cdot\binom{2}{2}\cdot\binom{9}{1}}{\binom{12}{3}}}_{\text{genau zwei "1"}}=\frac{1\cdot2\cdot\frac92\cdot\frac81+1\cdot1\cdot9}{\frac{12}{3}\cdot\frac{11}{2}\cdot\frac{10}{1}}=\frac{81}{220}$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 3 Ziehungen nur "2"en dabei sind, beträgt:$$P(X=2)=\frac{\binom{3}{0}\cdot\binom{9}{3}}{\binom{12}{3}}=\frac{1\cdot\frac93\cdot\frac82\cdot\frac71}{\frac{12}{3}\cdot\frac{11}{2}\cdot\frac{10}{1}}=\frac{21}{55}$$

Answer 3

Man könnte auch rein über die Pfadregeln rechnen:

P(X = 0) = 3 * 1/12 * 11/11 * 10/10 = 1/4

P(X = 1) = 3 * 2/12 * 9/11 * 8/10 + 3 * 2/12 * 1/11 * 9/10 = 81/220

P(X = 2) = 9/12 * 8/11 * 7/10 = 21/55