Elemente von erz:=({a,b})

Question

Aufgabe:

Sei G eine Gruppe a² = 1 für alle a ∈ G.

a) Zeigen Sie, dass G abelsch ist.

b) Seien a,b ∈ G mit a ≠ b und a,b ≠ 1 fest gewählt. Die Untergruppe V := erz({a,b}) von G heisst Kleinsche Vierergruppe.

i) Geben Sie die Elemente von V an.

Im Folgendem geht es um b(i)

D.h. V := ({a,b}) = { aⁿ,bⁿ,(ab)ⁿ,aⁿ bⁿ)

Da V aber kommutativ und das Assoziativgesetz gilt muss auch gelten:

(ab)ⁿ=aⁿbⁿ

Stehe gerade auf weiter Flur, da erzeugte Untergruppe für Unsicherheiten sorgt...

LG

Answer 1

a)

Wegen \(a^2=1\) für alle \(a\in G\) gilt

\(a^{-1}=a\) für alle \(a\in G\). Sind \(a,b\in G\), so

ergibt sich \((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\), weil dies in jeder

Gruppe gilt. Nun ist in unserem Falle

\(ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba\), d.h. \(G\)

ist abelsch.

b) Nach allgemeiner Definition ist \(erz(M)\) für eine beliebige

Teilmenge \(M\) einer Gruppe die kleinste Untergruppe von \(G\),

die \(M\) enthält. Nun ist \(V\) also die kleinste

Untergruppe von \(G\), die \(a\) und \(b\) enthält.

Als Untergruppe enthält dann \(V\) auch \(1\) und \(ab\).

Nun zeige, dass \(V=\{1,a,b,ab\}\) bereits eine Untergruppe ist.

Dann ist es auch die von \(a,b\) erzeugte Untergruppe.

Comments

Weshalb gilt eigentlich (ab)^-1 = b^-1 * a^-1

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Nach Definition des Inversen gilt \((ab)(ab)^{-1}=1\), also

\(b(ab)^{-1}=a^{-1}(ab)(ab)^{-1}=a^{-1}\) und schließlich

\((ab)^{-1}=b^{-1}b(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\).

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Danke. Und der aufgeführte Rechenweg gilt sowohl für Addition als auch für Multiplikation als Verknüpfung..?

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Klar! Ich habe ja nur die Gruppeneigenschaften verwendet.

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Sorry, das ich Nochmal frage, aber wenn man eine Menge M = {a,b} hätte wo nicht a²=1 ist, würde dann die erzeugte folgendermaßen aussehen:(?)

erzM ={ (a,a²,a³,...,aⁿ , b,b²,b³,...,bⁿ ,1,a^-1 , a^-2 ,...,a^-n , b^-1 , b^-2 ,...,b^-n ,ab,ab²,ab³,...,aⁿ b,aⁿ b²,aⁿ b³,...,aa^-1 ,aa^-2 ,...,aa^-n , ab^-1 , ab^-2,...,ab^-n .....)}

Hier in der Menge wurde a mit allen Elementen verknüpft, dasselbe sollte auch noch für die restlichen grau markierten Elementen geschehen, was ich weggelassen habe damit es nicht zu lang wird.

Die Definition des erzeugten wurde uns im Skript als " Menge aller endlichen Produkte von Elementen aus A bzw. deren Inverse" gegeben.

Wie kann man sich das vorstellen als Menge..? Etwa so wie oben oder anders?

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bzw.

oder besser einfach

erz({a,b}) = {aⁿ * b^k | n,k aus Z}

So kann man sich für n und k die gewünschten Zahlen bauen.

Z.B.

a * a ^-1 = 1 aus erz({a,b})

a für n=1 und k=0     und a^-1 für n=-1 und k=0     und 1 für n=0 und k=0

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Ja. Für eine abelsche Gruppe ist das so richtig

und sehr übersichtlich !

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Versuche gerad das Gesamtpaket zu verstehen.

Kann man das zu einer nicht-abelschen Gruppe bauen?

Wo ist da der große Unterschied in der schriftlichen Ausführung?