G := {f: R → R | ∃a, b ∈ R, a ungleich 0: f(x) = ax + b für alle x ∈ R} .

Question

Aufgabe:

Es sei

G := {f: R → R | ∃a, b ∈ R, a ungleich 0: f(x) = ax + b für alle x ∈ R} .

[G ist also die Menge aller reellen Funktionen der Form f(x) = ax + b mit a ungleich 0.] G werde mit der Verkettung (Einsetzoperation)

◦: G × G −> G , (f, g) → f ◦ g ,

versehen, die wie üblich durch ( f ◦ g)(x) := f(g(x)) gegeben ist.

a) Fur welche A, B ∈ R gilt Ax + B = (ax + b) ◦ (cx + d)? Geben Sie für A und B jeweils eine Formel in a, b, c und d an.

b) Geben Sie ein neutrales Element für G an. Verifizieren Sie explizit, daß es nicht nur linksneutral, sondern auch rechtsneutral ist.

c) Zeigen Sie, daß G nicht abelsch ist.

d) Finden Sie zu f ∈ G mit f(x) = ax + b ein inverses Element f^−1 ∈ G. Geben Sie für die Koeffizienten von f^−1 jeweils Formeln in a und b an. Verifizieren Sie explizit, daß f^−1 nicht nur linksinvers, sondern auch rechtsinvers ist.

Comments

Wurde hier kürzlich gefragt. Blättere mal weiter.

Answer 1

Für welche A, B ∈ R gilt Ax + B = (ax + b) ◦ (cx + d)? Geben Sie für A und B jeweils eine Formel in a, b, c und d an.

(ax + b) ◦ (cx + d) = (a(cx + d) + b) =acx + ad+b

Also A= ac und B= ad+b

Geben Sie ein neutrales Element für G an. EtwA (ax + b):

Dazu muss (ax + b) ◦ (cx + d) = cx+d  gelten, für alle c≠0 und d.

Also  c=ac und d=ad+b

==>   a=1   und b=0

==> neutr. El. ist  f mit  f(x)=x

Da gilt dann  x ◦ (cx + d) = cx+d

und  (cx + d) ◦ x = cx+d .

Also rechts- und linksneutral.

Zeigen Sie, daß G nicht abelsch ist:

z.B.: (2x + 1) ◦ (2x + 2) =4x+5

(2x + 2) ◦ (2x + 1) =4x+4    also verschieden.

Finden Sie zu f ∈ G mit f(x) = ax + b ein inverses Element f^−1 ∈ G.

(ax + b) ◦ (cx + d) = x

==>  1= ac und 0= ad+b

==>  \( c=\frac{1}{a}  \) und \( d=\frac{-b}{a}  \)

Also :   \( f^{-1}(x)=\frac{1}{a}x + \frac{-b}{a}  \)

Kontrolle:    \( (\frac{1}{a}x + \frac{-b}{a})o(ax+b)=\frac{1}{a}(ax+b) + \frac{-b}{a}  \)

\( x+ \frac{b}{a} + \frac{-b}{a} = x \)

Entsprechend auch \( (ax+b)o(\frac{1}{a}x + \frac{-b}{a}) = x \)