Man kann das schon umformen. Man muss dafür halt die kleine Lösungsformel verwenden.
Lösung 1:
$$\begin{aligned} x&=\frac{a^2-a+1}{a+1}\\ xa+x&=a^2-a+1\\ a^2-a-xa+1-x&=0\\ a^2+a\underbrace{(-1-x)}_{=:p}+\underbrace{(1-x)}_{=:q}&=0\\ \Rightarrow a_{1,2} &= \frac{1+x}{2}\pm\sqrt{\frac{1+2x+x^2}{4}-1+x}\\ \end{aligned}$$
Damit ein a existiert, muss gelten:
$$\Rightarrow \frac{1+2x+x^2}{4}-1+x\geq0\Rightarrow 1+2x+x^2-4+4x=x^2+6x-3\geq0$$
$$\Rightarrow x_{1,2}=-3\pm\sqrt{\frac{36}{4}+3}\approx -3\pm 3.46$$
Also existiert für x<-6.46 oder x>0.46 so ein a.
Lösung 2:
Die vielleicht noch elegantere Lösung wäre mit Ableitungen zu arbeiten, die ist aber vielleicht ein bisschen schwerer nachzuvollziehen. Dafür definieren wir die Funktion: $$\begin{aligned}f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}&\to\mathbb{R}\\ a&\mapsto \frac{a^2-a+1}{a+1}\end{aligned}$$
Dann muss ersteinmal auffallen, dass für a<-1, die Funktion negativ ist und für a>-1 die Funktion positiv ist (weil das Polynom im Zähler keine Nullstelle in den reellen Zahlen hat).
Dann können wir ableiten und sehen: $$f'(a)=\frac{a^2+2a-2}{a^2+2a+1}$$
$$f'(a)=0\Leftrightarrow a^2+2a-2\Leftrightarrow a = -1\pm\sqrt{1+2}=-1\pm\sqrt{3}$$
Nun können wir an diesen beiden Punkten unsere Funktion auswerten:
$$f(-1+\sqrt{3})\approx 0.46,\qquad f(-1-\sqrt{3})\approx -6.46$$
Die Funktion wird im negativen Bereich also nicht größer als -6.46 und im positiven Bereich nicht kleiner als 0.46. Die Werte dazwischen werden somit überhaupt garnicht getroffen. Alle anderen Werte aber schon, weil die Funktion stetig ist und von links bei -1 gegen -unendlich divergiert und von rechts bei -1 gegen +unendlich divergiert.
Also haben wir wieder die gleichen Grenzen bekommen. Es existiert für x<-6.46 oder x>0.46 ein a.
Falls was unklar ist, frag einfach nochmal nach :) LG
