Wie komme ich bei diesem LGS auf die auf die in den Lösungen angegebenen Vektoren?

Question

Aufgabe:

Nicht lineares Gleichungssystem lösen

\( 2 \cdot e_{1} \cdot e_{2}=1 \text { und } e_{1}^{2}+e_{2}^{2}=1\)

gilt. Dieses (nichtlineare) Gleichungssystem hat die Lösungen

\( \vec{e}_{1}=\left(e_{1}, e_{2}\right)^{\prime}=\left(+\frac{1}{\sqrt{2}},+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\prime} \quad \text { und } \quad \vec{e}_{2}=\left(\widetilde{e}_{1}, \widetilde{e}_{2}\right)^{\prime}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\prime} \text {. } \)

Problem/Ansatz:

Wie komme ich bei diesem LGS auf die auf die in den Lösungen angegebenen Vektoren ?

Answer 1

Differenzenbildung liefert (e₁ - e₂)² = 0. Daraus folgt e₁ = e₂.
Summenbildung liefert (e₁ + e₂)² = 2. Daraus folgt (2e₁)² = 2.

Answer 2

\(2 \cdot e_{1} \cdot e_{2}=1 \text { und } e_{1}^{2}+e_{2}^{2}=1 \)

==>  \(e_{1}  = \frac{1}{2e_2}  \)

In die 2. Gleichung einsetzen gibt

\(   ( \frac{1}{2e_2} )^{2}+e_{2}^{2}=1 \)

==>  \(  (e_{2}^2 - \frac{1}{2} )^{2}=0 \)

==>  \(  e_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)  oder   \(  e_{2} =  -\frac{1}{\sqrt{2}} \)

Mit \(2 \cdot e_{1} \cdot e_{2}=1 \)

folgt der Rest.

Comments

In der zweiten Zeile scheint mir eine 2 zu viel zu sein.

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In der zweiten Zeile scheint mir eine 2 zu viel zu sein.

Ich habe die eine 2 die zu viel war entfernt.

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Danke, dann passt es ja.

Answer 3

Schreibe e1=x e2=y

2xy=1

x^2+y^2=1

x^2=1-y^2

x=[1-y^2]   [..]=Wurzel von (Setze in die erste Gleichung ein)

2*[1-y^2]*y=1 (quadrieren)

4y^2(1-y^2)=1

y^2(1-y^2)= 1/4 (substituiere y^2=z)

z(1-z) = 1/4

z^2-z+1/4=0 (pq-Formel)

1/2 +/- [(1/2)^2 - 1/4]

1/2 +/- 0

Also ist z=1/2 , ziehe wurzel, x1 und x2 zu bekommen: [1/2] = 1/[2] bzw. -1/[2]. Setze dann x1 in die erste Gleichung ein, um y1 zu kriegen:

2*(1/[2])*y=1

y1= 1/[2]  Lösung 1= (1/[2],1/[2])

gleiches für x2 :

2*(-1/[2])*y=1

y2 = -1/[2] Lösung 2= (-1/[2],-1/[2])

Mache mit den Lösungen jeweils noch eine Probe bei der zweiten Gleichung.