Aloha :)
$$\operatorname{div}\vec C(x;y)=\operatorname{div}\begin{pmatrix}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\[1ex]\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{pmatrix}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$$
Wegen der Symmetrie brauchen wir nur eine Ableitung auszurechnen und können die andere dann direkt hinschreiben, indem wir in ihr \(x\) und \(y\) vertauschen.
Mit der Quotientenregel erhalten wir:$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\overbrace{x}^{u}}{\underbrace{\sqrt{x^2+y^2}}_{v}}\right)=\frac{\overbrace{1}^{u'}\cdot\overbrace{\sqrt{x^2+y^2}}^{v}-\overbrace{x}^{u}\cdot\overbrace{\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{2x}_{\text{innere Abl.}}}^{v'}}{\underbrace{x^2+y^2}_{v^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}$$
Das heißt für unsere Divergenz:$$\operatorname{div}\vec C(x;y)=\frac{\sqrt{x^2+y^2}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}-\frac{\sqrt{x^2+y^2}-\frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}=\frac{\frac{y^2-x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}$$
