Haben (reelle) lineare Gleichungssysteme mit zwei verschiedenen Lösungen stets unendlich viele Lösungen?

Question

Aufgabe:

Haben (reelle) lineare Gleichungssysteme mit zwei verschiedenen Lösungen stets unendlich viele Lösungen?

Problem/Ansatz:

Ist damit gemeint, dass wenn wir ein Ergebnis x und y haben, dass es auch mehrere Lösungen geben kann? Ich verstehe die Lösung nicht. Angeblich soll es stimmen wenn x eine spezielle Lösung ist und y eine Lösung des homogenen Systems.

Answer 1

Haben (reelle) lineare Gleichungssysteme mit zwei verschiedenen Lösungen stets unendlich viele Lösungen?

Ja.

Ist damit gemeint, dass wenn wir ein Ergebnis x und y haben, dass es auch mehrere Lösungen geben kann?

Nein.

Damit ist gemeint, dass reelle lineare Gleichungssysteme mit zwei verschiedenen Lösungen stets unendlich viele Lösungen haben.

Angeblich soll es stimmen wenn x eine spezielle Lösung ist und y eine Lösung des homogenen Systems.

Die Aussage "Reelle lineare Gleichungssysteme mit zwei verschiedenen Lösungen haben stets unendlich viele Lösungen" stimmt immer, egal was x und y ist.

Weißt du was eine Lösung eines linearen Gleichungssystems ist?

Comments

Ist mit Lösung zb 2x+4y=9, in dem fall 9 gemeint?

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Ist mit Lösung zb 2x+4y=9, in dem fall 9 gemeint?

Nein. Damit sind die Lösungstupel

(x; y) = (4.5; 0)

oder auch

(x; y) = (0; 2.25)

gemeint.

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Ist mit Lösung zb 2x+4y=9, in dem fall 9 gemeint?

Nein. Eine Lösung eines Gleichungssystems ist eine Belegung der Variablen, so dass eine wahre Aussage entsteht.

Zum Beispiel ist

        2·3 + 4·0,75 = 9

eine wahre Aussage. Deshalb ist die Belegung

        x bekommt den Wert 3 und
        y bekommt den Wert 0,75

eine Lösung der Gleichung

        2x + 4y = 9.

Diese Lösung kann man auf unterschiedliche Weise notieren. Zum Beispiel so wie ich das gemacht habe (was aber wohl etwas langatmig ist), oder

        x = 3, y = 0,75

oder

        (x, y) = (3, 0,75)

oder (falls klar ist, welche Variable mit 3 belegt wird und welche mit 0,75) einfach nur

        (3, 0,75).

Die Gleichung 2x + 4y = 9 hat neben der Lösung x = 3, y = 0,75 auch noch die Lösung x = 1,5, y = 1,5. Sie hat also eine zweite Lösung, die verschieden von der ersten ist.

Haben (reelle) lineare Gleichungssysteme mit zwei verschiedenen Lösungen stets unendlich viele Lösungen?

Falls ja, dann müsste jetzt auch die Gleichung 2x + 4y = 9 unendlich viele Lösungen haben.

Answer 2

Angenommen Du hast eine Lösung \( x_0 \) des homogenen Systems \( Ax = 0 \) und eine spezielle Lösung \( x_1 \) des inhomogenen Systems \( Ax = b \) dann ist auch \( x = x_0 + x_1 \) eine Lösung des inhomogene Systems.

Answer 3

Seien \(x_1\neq x_2\) zwei Lösungen des LGS. Dann ist

\(x_1-x_2\neq 0\) eine Lösung des zugehörigen homogenen LGS.

Da die Lösungsmenge des homogenen LGS ein Vektorraum \(L\) ist, liegen

auch alle unendlich vielen Vektoren \(c\cdot (x_1-x_2)\) in \(L\), d.h.

alle \(x_2+c\cdot (x_1-x_2)\) sind Lösungen des LGS.