Aufgabe:
Gegeben sind die folgenden Vektoren im \( \mathbb{R} \)-Vektorraum \( \mathbb{R}^{3} \),
\( \begin{aligned} v_{0} &:=(0,0,0), v_{1}:=(1,0,0), v_{2}:=(0,1,0), v_{3}:=(0,0,1), \\ v_{4} &:=(2,0,3), v_{5}:=(0,1,1), v_{6}:=(0,2,2), v_{7}:=(2,0,4), \end{aligned} \)
die folgenden Indexmengen
\( I_{1}:=\{0,3,4,7\}, \quad I_{2}:=\{3,4,5,6,7\}, \quad I_{3}:=\{1,2,3,5,6\}, \)
und die Unterräume \( V_{k}:=\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\left(v_{j}\right)_{j \in I_{k}} \) des \( \mathbb{R}^{3} \) für \( k=1,2,3 \).
Bestimmen Sie Teilmengen \( J_{k} \subset I_{k} \) mit der Eigenschaft, daß \( \left(v_{j}\right)_{j \in J_{k}} \) eine Basis von \( V_{k} \) ist und schreiben Sie die Vektoren \( v_{i}, i \in I_{k}-J_{k} \), als Linearkombinationen der Vektoren \( v_{j}, j \in J_{k} \). (Hinweis: Die Teilmengen \( J_{k} \) sind nicht eindeutig. Sie können wählen.)
Problem/Ansatz:
Ich verstehe die Aufgabe nicht ganz und weiß nicht, wo ich anfangen soll…
