Indexmengen als Obermenge

Question

Aufgabe:

Die Vereinigte Indexmenge von i bis n von der Schnittmenge von j bis m über M (i,j) soll die Untermenge von der Schnittmenge von j bis m von der Vereinigten Indexmenge i bis n über M (i,j) sein.

Problem/Ansatz:

Leider fehlt mir die Idee wie genau man dies Beweisen kann,

Es gab die Gleiche Frage bereits schonmal :

https://www.mathelounge.de/478833/analysis-mengenlehre-vereinigung-u…

Jedoch komme ich mit den Tipps nicht wirklich weiter.

Answer 1

Es geht doch wohl darum:

$\bigcup\limits_{i=1}^{n} \bigcap\limits_{j=1}^{m}M_{i,j} \subseteq \bigcap\limits_{j=1}^{m} \bigcup\limits_{i=1}^{n} M_{i,j}$

Zum Beweis wähle $x \in \bigcup\limits_{i=1}^{n} \bigcap\limits_{j=1}^{m}M_{i,j}$

==>   $\exists i \in \{ 1,\dots , n \} x \in \bigcap\limits_{j=1}^{m}M_{i,j}$

==>  $\exists i \in \{ 1,\dots , n \} \forall j \in \{ 1,\dots , m \} x \in M_{i,j}$

Wenn das x für alle j in $M_{i,j}$ ist,dann ist es auch
für alle j in der Vereinigungen der  $M_{i,j}$ über die i .
Denn wenn etwas in einer der an der Vereinigung beteiligten
Mengen ist, dann ist es auch in der Vereinigung.

==>  $\forall j \in \{ 1,\dots , m \} x \in \bigcup\limits_{i=1}^{n} M_{i,j}$

Und wenn es in allen Vereinigungen ist, dann auch im
Durchschnitt der Vereinigungen.

==>  $x \in \bigcap\limits_{j=1}^{m} \bigcup\limits_{i=1}^{n} M_{i,j}$  q.e.d.

Comments

Uhhh , danke ich glaube ich habe verstanden ,

könntest du ggf ein Beispiel geben, bzw. habe ich es richtig verstanden das es einfach gleich ist ?

Und es ist die vereinigung der Mengen der Durchschnitte der Mengen , richtig ?

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Nein, "gleich" gilt hier nicht.