Zeigen Sie, dass, wenn G eine unendliche Gruppe und H eine endliche Gruppe ist, der Kernel ker(φ) := φ^-1({e}) = {g …

Question

Aufgabe:

Sei φ : G → H ein Homomorphismus von Gruppen.
a) Zeigen Sie, dass, wenn G eine unendliche Gruppe und H eine endliche Gruppe ist, der Kernel ker(φ) := φ^-1({e}) = {g ∈ G | φ(g) = e} nicht-trivial ist, d.h., ker(φ) ̸= {e}.
b) Zeigen Sie, dass wenn φ ein Isomorphismus von Gruppen ist, dann ist seine Inverse φ^-1 : H → G, φ(g) → φ^-1(φ(g)) = g, auch ein Isomorphismus von Gruppen.

Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen, ich weiß wirklich nicht, wie man das beweisen kann.

Answer 1

b) ist wohl nicht so schwierig:

Wenn φ: G → H ein Isomorphismus ist, dann ist es insbesondere

bijektiv, also φ(G) = H. und die Umkehrabbildung ist auch bijektiv.

Fehlt noch der Nachweis, dass es ein Homomorphismus ist, also

wenn x,y ∈ H sind, dass dann φ^(-1)(x*y)=  φ^(-1)(x)o φ^(-1)(y).

Am besten von rechts nach links:

Wegen der Bijektivität gibt es genau ein a∈G und b∈G mit φ^(-1)(x)=a

und   φ^(-1)(y)=b also  φ(a) = x   und   φ(b) = y .

Dann ist aber wegen der Homomorphie von φ

φ(a o b) = φ(a) * φ(b) = x *y .

Also   φ^(-1)(x*y) = a o b =  φ^(-1)(x)o φ^(-1)(y).  q.e.d.

Answer 2

a) Sei \(G\) eine unendliche Gruppe mit neutralem Element \(e_G\) und H eine endliche Gruppe mit neutralem Element \(e_H\).

Sei \(h\in H\) mit \(\left|\varphi^{-1}(\left\{h\right\})\right| \geq 2\). Begründe warum ein solches \(h\) existiert.

Seien \(g_1,g_2\in G\) mit \(g_1\neq g_2\) und \(\varphi(g_1) = \varphi(g_2) = h\).

Begründe dass \(g_1\cdot g_2^{-1} \neq e_G\) und \(\varphi(g_1\cdot g_2^{-1}) = e_H\) ist.

Answer 3

a) Benutze den Homomorphiesatz \(G/\ker(\varphi)\cong \varphi(G)\)

b) \(\varphi(\varphi^{-1}(h_1h_2))=h_1h_2=\varphi(\varphi^{-1}(h_1))\varphi(\varphi^{-1}(h_2))=\)

\(=\varphi(\varphi^{-1}(h_1)\varphi^{-1}(h_2))\). Da \(\varphi\) injektiv ist,

folgt \(\varphi^{-1}(h_1h_2)=\varphi^{-1}(h_1)\varphi^{-1}(h_2)\)