Beweis gerade und ungerade Funktionen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen f(x)= e^x und g(x)= e^-x

Wie kann man rechnerisch beweisen dass f+g eine gerade Funktion ist, f-g eine ungerade Funktion und f*g eine gerade Funktion ist?

Answer 1

Hallo,

Wie kann man rechnerisch beweisen dass f+g eine gerade Funktion ist, ...

indem man rechnerisch zeigt, dass \(f+g\) die Eigenschaft einer geraden Funktion hat. Diese Eigenschaft muss man natürlich kennen. Eine Funktion \(h(x)\) ist gerade, wenn gilt $$h(x)= h(-x)$$und eine Funktion \(h(x)\) ist ungerade wenn gilt$$h(x)=-h(-x)$$Stelle also die gewünschten Funktionen auf und überprüfe das:$$h(x)= f(x) + g(x)=e^{x} + e^{-x} \\ h(-x) = e^{-x} + e^{x}$$ist doch wohl das gleiche - oder? Also ist \(f+g\) gerade.

Schaffst Du die anderen alleine?

Gruß Werner

Answer 2

Sei

$$h(x) = f(x) + g(x) = e^x + e^{-x} \newline i(x) = f(x) - g(x) = e^x - e^{-x} \newline k(x) = f(x) \cdot g(x) = e^x \cdot e^{-x}$$

Nun gilt

$$h(-x) = f(-x) + g(-x) = e^{-x} + e^{-(-x)} = e^x + e^{-x} = h(x)$$

Und damit eine h(x) gerade Funktion.

$$i(-x) = f(-x) - g(-x) = e^{-x} - e^{-(-x)} = e^{-x} - e^{x} = - (e^{x} - e^{-x}) = -i(x)$$

Und damit ist i(x) eine ungerade Funktion.

$$k(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = e^{-x} \cdot e^{-(-x)} = e^{-x} \cdot e^{x} = e^{x} \cdot e^{-x} = k(x)$$

Und damit ist k(x) eine gerade Funktion.