Partielle Ableitung bestimmen nach der Variablen x

Question

Aufgabe: Hier soll die partielle Ableitung der Funktion f nach der Variablen x bestimmt werden.

Problem/Ansatz: Nach mehreren Versuchen die partielle Ableitung nach der Variablen x zu bestimmen,bin leider immer noch nicht auf die in der Lösung angegebene Ableitung gekommen.Wäre nett,wenn mir jemand einen ausführlichen Weg zur Bestimmung der Ableitung angeben könnte.

Text erkannt:

\( x \cdot y+\frac{2 \cdot x \cdot y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \quad \) falls \( (x, y) \neq(0,0) \)

Text erkannt:

\( f_{x}(x, y)=y+\frac{2 \cdot y^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}},(x, y) \neq(0,0) \)

Comments

Vielleicht bist du auf eine gleichwertige Lösung gekommen. Wäre nett, wenn du deinen ausführlichen Weg zur Bestimmung der Ableitung angeben könntest.

Answer 1

Nutze https://www.ableitungsrechner.net/ zur Hilfe und Selbstkontrolle

Text erkannt:

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\frac{2 y x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+y x\right] \)
\( =2 y \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right]+y \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[x] \)
\( =2 y \cdot \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[x] \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}}-x \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right]}{\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}}+y \cdot 1 \)
\( =\frac{2 y \cdot\left(1 \sqrt{x^{2}+y^{2}}-\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}-1} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[x^{2}+y^{2}\right] \cdot x\right)}{x^{2}+y^{2}}+y \)
\( =\frac{2 y \cdot\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\frac{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[x^{2}\right]+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[y^{2}\right]\right) x}{2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)}{x^{2}+y^{2}}+y \)
\( =\frac{2 y \cdot\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\frac{(2 x+0) x}{2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)}{x^{2}+y^{2}}+y \)
\( =\frac{2 y \cdot\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)}{x^{2}+y^{2}}+y \)
Umschreiben bzw. vereinfachen:
\( =\frac{2 y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-\frac{2 y x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}+y \)
Vereinfachen/umschreiben:
\( \frac{y \cdot\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}+2 y^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \)