Ja, das sieht schonmal gut aus. Du kannst es noch erstmal vereinfachen zu:
\(w_{1,2}=\frac{3i+1}{2}\pm \sqrt{\frac{-i}{2}}\).
Allerdings kann man diesen schrecklichen Wurzelterm noch weiter betrachten, sodass das Gesamtergebnis für \(w_{1,2}\) sehr viel einfacher wird. Dazu umschreibe ich da Ergebnis:
$$w_{1,2}=\frac{3i+1}{2}\pm \sqrt{\frac{-i}{2}}=\frac{3i+1}{2}\pm \frac{\sqrt{-i}}{\sqrt{2}}=\frac{3i+1}{2}\pm \frac{\sqrt{(-1)\cdot i}}{\sqrt{2}}\\=\frac{3i+1}{2}\pm \frac{\sqrt{-1}\cdot \sqrt{i}}{\sqrt{2}}=\frac{3i+1}{2}\pm \frac{i\cdot \sqrt{i}}{\sqrt{2}}$$
>>>>>> Zwischenrechnung Anfang <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
Jetzt muss man noch \(\sqrt{i}\) bestimmen. Dafür rate/probiere ich mal den Ansatz, dass \(\sqrt{i}=x+i\cdot y\) gilt, wobei \(x,y\in \R\) gilt. Jetzt suche ich \(x\) und \(y\). Dazu quadriere ich beide Seiten und erhalte $$ i=x^2+2\cdot x\cdot y\cdot i-y^2=x^2-y^2+2\cdot x\cdot y\cdot i $$
Reduziert also nur \(0+1\cdot i=(x^2-y^2)+2\cdot x\cdot y\cdot i\). Nun mache ich einen Koeffizientenvergleich:
(1) \(x^2-y^2=0\)
(2) \(2\cdot x\cdot y=1\quad |:2x, x\neq 0\Rightarrow y=\frac{1}{2x}\quad (*)\)
Resultat \((*)\) in (1) eingesetzt ergibt
$$ x^2-\frac{1}{4x^2}=0\Leftrightarrow 4x^4-1=0 \Rightarrow x_{1,2}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\\\stackrel{(*)}{\Rightarrow} y_{1,2}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$
Probe kann man selber machen...
Es gilt also \(\sqrt{i}=\pm \Big (\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot i\Big)=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot (1+i)\)
Nehmen wir mal nur \(\sqrt{i}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot (1+i)\quad (**)\)
>>>>>> Zwischenrechnung Ende <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
Eingesetzt ergibt das:
$$...= \frac{3i+1}{2}\pm \frac{i\cdot \sqrt{i}}{\sqrt{2}}\\=\frac{3i+1}{2}\pm \sqrt{i}\cdot \frac{i}{\sqrt{2}}\\\stackrel{(**)}{=}\frac{3i+1}{2}\pm \Big( \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot (1+i)\Big)\cdot \frac{i}{\sqrt{2}}\\=\frac{3i+1}{2}\pm \frac{i-1}{2}$$
Also bekommt man
\(w_1=\frac{3i+1}{2}+ \frac{i-1}{2}=2i\\w_2=\frac{3i+1}{2}- \frac{i-1}{2}=1+i\)
Hätte ich stattdessen \(\sqrt{i}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot (1+i)\), dann wäre man auch auf dieselben Ergebnisse (vertauscht) gekommen.
Nach dieser langen Rechnung nicht vergessen, dass du noch zurück substituieren musst:
\(z_{1,2}=\pm \sqrt{w_1}=\pm \sqrt{2\cdot i}=\pm \sqrt{2}\cdot \sqrt{i}\stackrel{(**)}{=}\pm (1+i)\)
\(z_{3,4}=\pm \sqrt{w_2}=\pm \sqrt{1+i}\stackrel{(***)}{=}\pm \Big( \frac{\sqrt{1+\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}+i\cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}} \Big)\)
\((***)\) Dasselbe Prinzip wie bei \((**)\).
