Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung w1w2

Question

Hallo, und zwar soll ich die Lösung dieser Gleichung bestimmen. w^2+(−3i−1)w+2i−2=0.

Vorher habe ich w=z^2 definiert.

Ich habe da jetzt die pq Formel angewandt und komme auf. (3i+1)/2 ±\( \sqrt{-2i/4} \) hier komme ich allerdings jetzt nicht weiter. Hab ich mich verrechnet? Ich kann ja nicht von etwas negativem die Wurzel ziehen

Answer 1

√(- 1/2·i)

(a + b·i)^2 = - 1/2·i

a^2 - b^2 + 2·a·b·i = - 1/2·i

Koeffizientenvergleich

a^2 - b^2 = 0

2·a·b = - 1/2

Löse das Gleichungssystem. Ich erhalte

a = 1/2 ∧ b = - 1/2 oder a = - 1/2 ∧ b = 1/2

Damit sind die Lösungen also

w1 = (1/2 + 3/2·i) + (1/2 - 1/2·i) = 1 + i

w2 = (1/2 + 3/2·i) - (1/2 - 1/2·i) = 2·i

Comments

Vielen Dank. Könntest du mir vielleicht noch zeigen, wie ich durch Rücksubstitution auf meine 4 Lösungen der ursprünglichen Gleichung komme?

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Es gilt doch z^2 = w bzw. z = ±√w

Du ziehst jetzt aus w jeweils die Wurzel.

Das solltest du jetzt wissen, wie das geht. Ich finde das Wurzelziehen meist über die e-notation der Komplexen Zahlen einfacher. Aber die hattet ihr noch nicht benutzt zum Wurzelziehen oder?

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Ne. Hatten wir leider noch nicht. Also bei w1w2 hab ich jetzt ein Ergebnis von 1+i, -1-i aber bei dem zweiten Teil mit \( \sqrt{1+i} \) bräuchte ich noch Hilfe

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z = ± √(1 + i)

Mein Ansatz ist wie auch oben

(a + b·i)^2 = 1 + i
a^2 - b^2 + 2·a·b·i = 1 + i

Du erhältst das Gleichungssystem

a^2 - b^2 = 1
2·a·b = 1

Eine Lösung ist

a = √((√2 + 1)/2) ∧ b = √((√2 - 1)/2)

Also

z = ± (√((√2 + 1)/2) + √((√2 - 1)/2)·i) ≈ ± (1.0987 + 0.4551·i)

Du siehst der Ansatz den ich dir oben schon vorgemacht habe geht grundsätzlich bei Wurzeln aus komplexen Zahlen.

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Mann kann sich so natürlich auch eine allgemeine Formel herleiten. Aber die ist viel zu kompliziert zu merken als, dass es irgendwie hilfreich ist.

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Ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch :(.

Du sagst ja, dass a = √((√2 + 1)/2) ∧ b = √((√2 + 1)/2)ist.

a und b sind ja in dem Fall gleich groß.

Aber wie kann dann a^2 -b^2 = 1 sein?

Das müsste ja 0 sein.

Und da hatte ich dann auch mein Widerspruch, den ich mir vorhin ausgerechnet habe

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Oh. Hatte dort ein Tippfehler

a = √((√2 + 1)/2) ∧ b = √((√2 - 1)/2)